tag:blogger.com,1999:blog-71667765594150686992024-02-10T13:49:52.741-08:00# Filsafat Matematika #Astuti Setyoningsihhttp://www.blogger.com/profile/05216792163154917982noreply@blogger.comBlogger7125tag:blogger.com,1999:blog-7166776559415068699.post-58373870924263994122012-03-20T21:18:00.003-07:002012-03-21T23:29:04.998-07:00Sejarah Matematika<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 115%;">Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan
berbagai permasalahan (dalam pemerintahan,industri, sains). Sejarah matematika
adalah penyelidikan terhadap asalmula penemuan di dalam matematika dansedikit
perluasannya, penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika dimasa silam.
Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangun peradaban manusia
sepanjang masa.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Kata "matematika" berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam
bahasa Yunani</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau
belajar" juga μαθηματικός</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">(mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 115%;">Metode yang digunakan adalah eksperimen atau penalaran
induktif dan penalaran deduktif.Penalaran induktif adalah penarikan kesimpulan
setelah melihat kasus-kasus yangkhusus. Kesimpulan penalaran induktif memiliki
derajat kebenaran barangkalibenar atau tidak perlu benar.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 115%;">Sebelum zaman modern dan penyebaran ilmu pengetahuan ke
seluruh dunia, contoh-contoh tertulis dari pengembangan matematika telah
mengalami kemilau hanya di beberapa tempat.Tulisan matematika terkuno yang
telah ditemukan adalah Plimpton322 (matematika Babilonia sekitar 1900 SM),
Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir sekitar 2000-1800 SM) dan Lembaran
Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890 SM). Semua tulisan itu membahas teorema yang
umum dikenal sebagai teorema Pythagoras,yang tampaknya menjadi pengembangan
matematika tertua dan paling tersebar luas setelah aritmetika dasar dan
geometri.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Sumbangan matematikawan Yunani memurnikan
metode-metode (khususnya melalui pengenalan penalaran deduktif dan kekakuan
matematika di dalam pembuktian matematika) dan perluasan pokok bahasan
matematika. Kata "matematika" berasal dari kata
μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu
pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar". Matematika Cina membuat sumbangan dini, termasuk
notasi posisional. Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturan penggunaan operasinya,
digunakan hingga kini, mungkin dikembangakan melalui kuliah pada milenium
pertama Masehi di dalam matematika India dan telah diteruskan ke Barat melalui
matematika Islam. Matematika Islam, pada gilirannya, mengembangkan dan
memperluas pengetahuan matematika ke peradaban ini. Banyak naskah berbahasa
Yunani dan Arab tentang matematika kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa
Latin, yang mengarah pada pengembangan matematika lebih jauh lagi di Zaman
Pertengahan Eropa.</span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 115%;">Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan, ledakan
kreativitas matematika seringkali diikuti oleh abad-abad kemandekan. Bermula
pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16, pengembangan matematika baru,
berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat pada pertumbuhan eksponensial
yang berlanjut hingga kini.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red; line-height: 115%;">Sejarah
matematika dilihat :</span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red;">Secara Geografis</span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #0099ff;">1. Mesopotamia</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">- Menentukan system bilangan pertama kali</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">- Menemukan system berat dan ukur</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">- Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti
oleh notasi</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">berbentuk baji</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #0099ff;">2. Babilonia</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">- Penemu kalkulator pertama kali</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">- Geometrinya bersifat aljabaris</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">berkembang</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">- Sudah mengenal teorema Pythagoras</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #0099ff;">3. Mesir Kuno </span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">-Mengenal tripel Pythagoras</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #0099ff;">4. Yunani Kuno</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Pencetus awal konsep nol adalah Al Khwarizmi</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">kerucut</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Hipassus penemu bilangan irrasional</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang
isinya</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">persamaan)</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Archimedes membuat geometri bidang datar</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Mengenal bilangan prima</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #0099ff;">5. India</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema
Pythagoras,transformasi</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">dan segitiga pascal</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #0099ff;">6. China</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system
biner,</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan
yaitu</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">persamaan kuadrat, kubikdan qualitik</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Kuadrat</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red;">Berdasarkan Tokoh</span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #0099ff;">1. Thales (624-550 SM)</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan
oleh Euclid.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh
Thales</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #0099ff;">2. Pythagoras (582-496 SM)</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma,</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">postulat-postulat yang perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam
mengembangkan</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">geometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema
Pythagoras</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">namun dia berhasil membuat pembuktian matematis. Persaudaraan
Pythagoras</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">menemukan 2 sebagai bilangan
irrasional.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #0099ff;">3. Socrates (427-347 SM)</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Ia merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi
pencipta ajaran</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">serba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir
karena</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">pergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli piker pertama yang</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">menerima paham adanya alam bukan benda.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #0099ff;">4. Ecluides (325-265 SM)</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori
bilangan dan</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">geometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema
Pythagoras,</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori
proporsi dan</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">lain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangka.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #0099ff;">5. Archimedes (287-212 SM)</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukan</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">perhitungan π (pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli
matematika</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga kaaarya Archimedes</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur
dari</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">parabola dan spiral.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #0099ff;">6. Appolonius (262-190 SM)</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi
sumbangan</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">bagi astronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan tang ahli
dalam</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">geometri. Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam
segitiga.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #0099ff;">7. Diophantus (250-200 SM)</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang
bermukim</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku
karangan</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">pertama tentang system aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">persamaan-persamaan tingkat pertama.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red; line-height: 115%;">Hubungan Filsafat Dengan Matematika</span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 115%;">Matematika dan filsafat mempunyai sejarah keterikatan satu
dengan yang lain sejak jaman Yunani Kuno. Matematika di samping merupakan
sumber dan inspirasi bagi para filsuf, metodenya juga banyak diadopsi untuk
mendeskripsikan pemikiran filsafat. Kita bahkan mengenal beberapa matematikawan
yang sekaligus sebagai sorang filsuf, misalnya Descartes, Leibniz, Bolzano,
Dedekind, Frege, Brouwer, Hilbert, G¨odel, and Weyl. Pada abad terakhir di mana
logika yang merupakan kajian sekaligus pondasi matematika menjadi bahan kajian
penting baik oleh para matematikawan maupun oleh para filsuf. Logika matematika
mempunyai peranan hingga sampai era filsafat kontemporer di mana banyak para
filsuf kemudian mempelajari logika. Logika matematika telah memberi inspirasi
kepada pemikiran filsuf, kemudian para filsuf juga berusaha mengembangkan
pemikiran logika misalnya “logika modal”, yang kemudian dikembangkan lagi oleh
para matematikawan dan bermanfaat bagi pengembangan program komputer dan
analisis bahasa. Salah satu titik krusial yang menjadi masalah bersama oleh
matematika maupun filsafat misalnya persoalan pondasi matematika. Baik
matematikawan maupun para filsuf bersama-sama berkepentingan untuk menelaah
apakah ada pondasi matematika? Jika ada apakah pondasi itu bersifat tunggal
atau jamak? Jika bersifat tunggal maka apakah pondasi itu? Jika bersifat jamak
maka bagaimana kita tahu bahwa satu atau beberapa diantaranya lebih utama atau
tidak lebih utama sebagai pondasi? Pada abad 20, Cantor diteruskan oleh Sir
Bertrand Russell, mengembangkan teori himpunan dan teori tipe, dengan maksud
untuk menggunakannya sebagai pondasi matematika. Namun kajian filsafat telah
mendapatkan bahwa di sini terdapat paradoks atau inkonsistensi yang kemudian
membangkitkan kembali motivasi matematikawan di dalam menemukan hakekat dari
sistem matematika.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 115%;">Dengan teori ketidak-lengkapan, akhirnya Godel menyimpulkan
bahwa suatu sistem matematika jika dia lengkap maka pastilah tidak akan
konsisten; tetapi jika dia konsisten maka dia patilah tidak akan lengkap.
Hakekat dari kebenaran secara bersama dipelajari secara intensif baik oleh
filsafat maupun matematika. Kajian nilai kebenaran secara intensif dipelajari
oleh bidang epistemologi dan filsafat bahasa. Di dalam matematika, melalui
logika formal, nilai kebenaran juga dipelajari secara intensif. Kripke, S. dan
Feferman (Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007) telah merevisi teori
tentang nilai kebenaran; dan pada karyanya ini maka matematika dan filsafat
menghadapi masalah bersama. Di lain pihak, pada salah satu kajian filsafat,
yaitu epistemologi, dikembangkan pula epistemologi formal yang menggunakan
pendekatan formal sebagai kegiatan riset filsafat yang menggunakan inferensi
sebagai sebagai metode utama. Inferensi demikian tidak lain tidak bukan
merupakan logika formal yang dapat dikaitkan dengan teori permainan,
pengambilan keputusan, dasar komputer dan teori kemungkinan.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 115%;">Para matematikawan dan para filsuf secara bersama-sama masih
terlibat di dalam perdebatan mengenai peran intuisi di dalam pemahaman
matematika dan pemahaman ilmu pada umumnya. Terdapat langkah-langkah di dalam
metode matematika yang tidak dapat diterima oleh seorang intuisionis. Seorang
intuisionis tidak dapat menerima aturan logika bahwa kalimat “a atau b”
bernilai benar untuk a bernilai benar dan b bernilai benar. Seorang intuisionis
juga tidak bisa menerima pembuktian dengan metode membuktikan ketidakbenaran
dari ingkarannya. Seorang intuisionis juga tidak dapat menerima bilangan
infinit atau tak hingga sebagai bilangan yang bersifat faktual. Menurut seorang
intuisionis, bilangan infinit bersifat potensial. Oleh karena itu kaum
intuisionis berusaha mengembangkan matematika hanya dengan bilangan yang
bersifat finit atau terhingga.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 115%;">Banyak filsuf telah menggunakan matematika untuk membangun
teori pengetahuan dan penalaran yang dihasilkan dengan memanfaatkan bukti-bukti
matematika dianggap telah dapat menghasilkan suatu pencapaian yang memuaskan.
Matematika telah menjadi sumber inspirasi yang utama bagi para filsuf untuk
mengembangkan epistemologi dan metafisik. Dari pemikiran para filsuf yang
bersumber pada matematika diantaranya muncul pemikiran atau pertanyaan: Apakah
bilangan atau obyek matematika memang betul-betul ada? Jika mereka ada apakah
di dalam atau di luar pikiran kita? Jika mereka ada di luar pikiran kita
bagaimana kita bisa memahaminya? Jika mereka ada di dalam pikiran kita
bagaimana kita bisa membedakan mereka dengan konsep-konsep kita yang lainnya?
Bagaimana hubungan antara obyek matematika dengan logika? Pertanyaan tentang
“ada” nya obyek matematika merupakan pertanyaan metafisik yang kedudukannya
hampir sama dengan pertanyaan tentang keberadaan obyek-obyek lainnya seperti
universalitas, sifat-sifat benda, dan nilai-nilai; menurut beberapa filsuf jika
obyek-obyek itu ada maka apakah dia terkait dengan ruang dan waktu? Apakah dia
bersifat aktual atau potensi? Apakah dia bersifat abstrak? Atau konkrit? Jika
kita menerima bahwa obyek matematika bersifat abstrak maka metode atau
epistemologi yang bagaimana yang mampu menjelaskan obyek tersebut? Mungkin kita
dapat menggunakan bukti untuk menjelaskan obyek-obyek tersebut, tetapi bukti
selalu bertumpu kepada aksioma. Pada akhirnya kita akan menjumpai adanya
“infinit regress” karena secara filosofis kita masih harus mempertanyakan
kebenaran dan keabsahan sebuah aksioma.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 115%;">Hannes Leitgeb di (Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R.
2007) di “Mathematical Methods in Philosophy” telah menyelidiki penggunaan
matematika di filsafat. Dia menyimpulkan bahwa metode matematika mempunyai
kedudukan penting di filsafat. Pada taraf tertentu matematika dan filsafat
mempunyai persoalan-persoalan bersama. Hannes Leitgeb telah menyelidiki
aspek-aspek dalam mana matematika dan filsafat mempunyai derajat yang sama
ketika melakukan penelaahan yatitu kesamaan antara obyek, sifat-sifat obyek,
logika, sistem-sistem, makna kalimat, hukum sebab-akibat, paradoks, teori
permainan dan teori kemungkinan. Para filsuf menggunakan logika sebab-akibat
untuk untuk mengetahui implikasi dari konsep atau pemikirannya, bahkan untuk membuktikan
kebenaran ungkapan-ungkapannya. Joseph N. Manago (2006) di dalam bukunya “
Mathematical Logic and the Philosophy of God and Man” mendemonstrasikan
filsafat menggunakan metode matematika untuk membuktikan Lemma bahwa terdapat
beberapa makhluk hidup bersifat “eternal”. Makhluk hidup yang tetap hidup
disebut bersifat eternal.</span></span><br />
<br />
<div style="color: red;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 115%;">LATIHAN SOAL !</span></span></div>
<br />
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">1<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">Jelaskan pengertian sejarah matematika?</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;">
<span>
</span><br />
</span><div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">2<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span lang="IN" style="line-height: 115%;"> Apa yang dimaksud dengan penalaran
induktif?</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;">
<span>
</span><br />
</span><div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">3<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">Jelaskan secara singkat sejarah
matematika pada zaman yunani kuno?</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;">
<span>
</span><br />
</span><div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">4<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">Jelaskan hubungan filsafat dan
matematika?</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;">
<span>
</span><br />
</span><div class="MsoListParagraphCxSpLast" style="text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">5<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">Sebutkan beberapa tokoh dan penemuannya
dalam sejarah matematika?</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>Astuti Setyoningsihhttp://www.blogger.com/profile/05216792163154917982noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7166776559415068699.post-59439389804573752702012-03-14T06:44:00.001-07:002012-03-21T23:28:01.855-07:00Geometri Non Eeuclid<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b>Non-Euclidean
geometri</b></span><span style="font-size: small;"> adalah salah satu dari dua geometri
tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate&usg=ALkJrhh-0UswTEH9fnQluSpHy-6IkQwKwA" title="Paralel mendalilkan"><span style="color: windowtext;">paralel postulat</span></a>
, yaitu <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry&usg=ALkJrhh62gFF8FgB0Xdqc_qNTAqHvMiWIA" title="Hiperbolis geometri"><span style="color: windowtext;">hiperbolik</span></a>
dan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry&usg=ALkJrhgQJ4ieOSY7vlm72saNAUFibiWUCA" title="Elliptic geometri"><span style="color: windowtext;">geometri eliptik</span></a>
. Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam
matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam
bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri yang <b>tidak</b> <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry&usg=ALkJrhhtCzpuDk76eHdfNHmRtNWaIqYhOw" title="Euclidean geometri"><span style="color: windowtext;">geometri Euclidean</span></a>
, tetapi hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri.</span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Perbedaan
penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_%28geometry%29&usg=ALkJrhg3DtfirdfjaluEQmvcZy2oq-uQpw" title="Paralel (geometri)"><span style="color: windowtext;">paralel</span></a>
baris. <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid&usg=ALkJrhh-5CMR7iPm-k7mGPNucmFS4Gr17Q" title="Euclid"><span style="color: windowtext;">Euclid</span></a> ‘s kelima
mendalilkan, yang <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate&usg=ALkJrhh-0UswTEH9fnQluSpHy-6IkQwKwA" title="Paralel mendalilkan"><span style="color: windowtext;">paralel mendalilkan</span></a>
, setara dengan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Playfair%27s_Postulate&usg=ALkJrhg7JB15qAyv8PRQdW1-lJF84g2QNA" title="Postulat yang Playfair"><span style="color: windowtext;">yang Playfair
postulat</span></a> yang menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk
setiap garis yang diketahui <i>ℓ</i> dan <i>A</i> titik, yang tidak pada <i>ℓ,</i>
ada tepat satu garis melalui <i>A</i> yang tidak berpotongan <i>ℓ.</i> Dalam
geometri hiperbolik, sebaliknya, ada <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_set&usg=ALkJrhinC2I4NAyZfHZUu6UAyOSLDam36Q" title="Tak terbatas set"><span style="color: windowtext;">tak terhingga</span></a>
banyak baris melalui <i>A ℓ</i> tidak berpotongan, sementara dalam geometri
eliptik, setiap baris melalui <i>A</i> memotong <i>ℓ</i> (lihat entri pada <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry&usg=ALkJrhh62gFF8FgB0Xdqc_qNTAqHvMiWIA" title="Hiperbolis geometri"><span style="color: windowtext;">geometri hiperbolik</span></a>
, <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry&usg=ALkJrhgQJ4ieOSY7vlm72saNAUFibiWUCA" title="Elliptic geometri"><span style="color: windowtext;">geometri berbentuk
bulat panjang</span></a> , dan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_geometry&usg=ALkJrhhhOdEPAl0feuyEsdRuMzpO74L1dQ" title="Absolute geometri"><span style="color: windowtext;">geometri mutlak</span></a>
untuk informasi lebih lanjut).</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Cara
lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah mempertimbangkan dua
garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang dalam bidang dua dimensi yang baik <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Perpendicular&usg=ALkJrhj5sYjMwEwj1S0tsK0Nueao_8ufZg" title="Tegak lurus"><span style="color: windowtext;">tegak lurus</span></a> ke
saluran ketiga:</span></div>
<ul style="text-align: justify;" type="disc">
<li class="MsoNormal" style="line-height: normal;"><span style="font-size: small;">Dalam geometri Euclidean garis
tetap konstan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Distance&usg=ALkJrhiayDSMP_uKbt54JhaiiS2kUX86ZA" title="Jarak"><span style="color: windowtext;">jarak</span></a> dari satu sama
lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai
paralel.</span></li>
<li class="MsoNormal" style="line-height: normal;"><span style="font-size: small;">Dalam geometri hiperbolik mereka
“kurva pergi” satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu
bergerak lebih jauh dari titik persimpangan dengan tegak lurus umum,
garis-garis ini sering disebut ultraparallels.</span></li>
<li class="MsoNormal" style="line-height: normal;"><span style="font-size: small;">Dalam geometri berbentuk bulat
panjang garis “kurva ke arah” satu sama lain dan akhirnya berpotongan.</span></li>
</ul>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red;">Sejarah </span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red;">Sejarah Awal </span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Sementara
<a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry&usg=ALkJrhhtCzpuDk76eHdfNHmRtNWaIqYhOw" title="Euclidean geometri"><span style="color: windowtext;">geometri Euclidean</span></a>
, dinamai <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Greek_mathematics&usg=ALkJrhhpu9Qa6QAYrtLLUaDh_9EsltTTcA" title="Yunani matematika"><span style="color: windowtext;">matematikawan Yunani</span></a>
<a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid&usg=ALkJrhh-5CMR7iPm-k7mGPNucmFS4Gr17Q" title="Euclid"><span style="color: windowtext;">Euclid</span></a> , termasuk
beberapa dari matematika tertua, non-Euclidean geometri tidak secara luas
diterima sebagai sah sampai abad ke-19.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Perdebatan
yang akhirnya menyebabkan penemuan non-Euclidean geometri mulai segera setelah
karya Euclid ‘s <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_Elements&usg=ALkJrhhYJZK2-JS7HV3m48nvf5f_QJAwZQ" title="Euclid 's Elemen"><i><span style="color: windowtext;">Elemen</span></i></a>
ditulis. Dalam <i>Elemen,</i> Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23
definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk
membuktikan semua hasil lain ( <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Proposition&usg=ALkJrhir5RQheJCoGEPMcgCOj3kWvXwx-Q" title="Dalil"><span style="color: windowtext;">proposisi</span></a> ) dalam
pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai “Kelima
Postulat Euclid,” atau cukup dengan ” <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate&usg=ALkJrhh-0UswTEH9fnQluSpHy-6IkQwKwA" title="Paralel mendalilkan"><span style="color: windowtext;">paralel mendalilkan</span></a>
“, yang dalam formulasi asli Euclid adalah:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Jika
garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior
pada sisi yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut yang tepat, maka
garis-garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang
adalah sudut kurang dari dua kanan sudut.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Lain
yang hebat matematika telah menemukan bentuk-bentuk sederhana dari properti ini
(lihat <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate&usg=ALkJrhh-0UswTEH9fnQluSpHy-6IkQwKwA" title="Paralel mendalilkan"><i><span style="color: windowtext;">postulat paralel</span></i></a>
untuk laporan setara). Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara
konsisten tampaknya lebih rumit dari yang lain Euclid postulat (termasuk,
misalnya, “Antara dua titik garis lurus bisa diambil”).</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Setidaknya
seribu tahun, <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Geometer&usg=ALkJrhi4-lCjgWIIAD57D3oRkOENGTVceQ" title="Ilmu ukur"><span style="color: windowtext;">geometers</span></a> merasa
kesulitan akibat kompleksitas yang berbeda dari kelima postulat, dan percaya
itu bisa dibuktikan sebagai teorema dari keempat lainnya. Banyak berusaha untuk
menemukan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_contradiction&usg=ALkJrhiFFzbhK0BabDKtlFBMnAwNQ4-rLA" title="Bukti dengan kontradiksi"><span style="color: windowtext;">bukti oleh
kontradiksi</span></a> , termasuk <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_in_medieval_Islam&usg=ALkJrhgi14sfT1gg4xFvApFnw82b5JL8fA" title="Matematika dalam Islam abad pertengahan"><span style="color: windowtext;">matematikawan
Arab</span></a> <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Ibn_al-Haytham&usg=ALkJrhhhkSmvFUbry1iY2w5d8gKV_KN_dw" title="Ibn al-Haytham"><span style="color: windowtext;">Ibn al-Haytham</span></a>
(Alhazen, abad ke-11), dengan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Persian_people&usg=ALkJrhjMlw-lXSSc_mbU2xbDr2ylcKeFMQ" title="Persia orang"><span style="color: windowtext;">Persia</span></a>
matematikawan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Omar_Khayy%25C3%25A1m&usg=ALkJrhgk-E4eiAXWLMaPF7DsDbcNIhl4SQ" title="Umar Khayyām"><span style="color: windowtext;">Umar Khayyām</span></a>
(abad 12) dan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Nas%25C4%25ABr_al-D%25C4%25ABn_al-T%25C5%25ABs%25C4%25AB&usg=ALkJrhhyku-JFNCIeR08qgpSE_XcT-7qlg" title="Nasir al-Din al-Tusi"><span style="color: windowtext;">Nasir al-Din
al-Tusi</span></a> (abad ke-13), dan dengan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Italy&usg=ALkJrhg0d9ArBKJJE5mNL4JLNHFvrJH3EA" title="Italia"><span style="color: windowtext;">Italia</span></a> matematika <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Girolamo_Saccheri&usg=ALkJrhgLHyVqPAVoGOsBg2GiXEi_aKFWIA" title="Giovanni Girolamo Saccheri"><span style="color: windowtext;">Giovanni
Girolamo Saccheri</span></a> (abad 18).</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Teorema
Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Quadrilateral&usg=ALkJrhi0P9bqZbpewvrpwVBUtP8842JpMA" title="Berbentuk persegi"><span style="color: windowtext;">segiempat</span></a> ,
termasuk <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_quadrilateral&usg=ALkJrhi_uK5RFHXOIia7ldikmS6oSjtSRg" title="Lambert segiempat"><span style="color: windowtext;">segiempat Lambert</span></a>
dan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Saccheri_quadrilateral&usg=ALkJrhj2UFdafWnAZiFPV7XYIIlL5ot-IA" title="Saccheri segiempat"><span style="color: windowtext;">Saccheri segiempat</span></a>
, adalah “teorema pertama dari <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry&usg=ALkJrhh62gFF8FgB0Xdqc_qNTAqHvMiWIA" title="Hiperbolis geometri"><span style="color: windowtext;">hiperbolik</span></a>
dan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptical_geometry&usg=ALkJrhjg_QBOKgTkgnVwjgUHv0wcgSvg8A" title="Elliptical geometri"><span style="color: windowtext;">geometri berbentuk
bulat panjang</span></a> . ” Teorema-teorema bersama dengan alternatif mereka
mendalilkan, seperti <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Playfair%27s_axiom&usg=ALkJrhjSo28ax4FnuoCbLT--3hP9QniJzg" title="Playfair 's aksioma"><span style="color: windowtext;">aksioma Playfair ‘s</span></a>
, memainkan peran penting dalam perkembangan selanjutnya dari non-Euclidean
geometri. Upaya-upaya awal pada menantang kelima postulat memiliki pengaruh
yang besar terhadap pembangunan di antara geometers kemudian Eropa, termasuk <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Witelo&usg=ALkJrhiWglVEvYwDLO6bj8AmzXZgkb2rtQ" title="Witelo"><span style="color: windowtext;">Witelo</span></a> , <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Levi_ben_Gerson&usg=ALkJrhjuIyFEOZ1UJv-OnWsIeozqIgW09g" title="Levi ben Gerson"><span style="color: windowtext;">Levi ben Gerson</span></a>
, <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Alfonso&usg=ALkJrhiOYdQfD4kjuEGb2JTNCT-IOOItlA" title="Alfonso"><span style="color: windowtext;">Alfonso</span></a> , <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis&usg=ALkJrhim273kEMPOy9GwCrRj15kTTgt-9A" title="John Wallis"><span style="color: windowtext;">John Wallis</span></a> dan
Saccheri. Semua upaya awal dibuat di mencoba untuk merumuskan non-Euclidean
Namun geometri diberikan bukti cacat dari paralel mendalilkan, mengandung
asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. Upaya-upaya awal itu,
bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal dari geometri hiperbolik dan
eliptik.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Khayyam,
misalnya, mencoba untuk mendapatkan dari setara mendalilkan ia merumuskan dari
“prinsip-prinsip Bertuah” ( <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Aristotle&usg=ALkJrhjyt0lwtZWipluwkE3N-lzlqGyEaQ" title="Aristotel"><span style="color: windowtext;">Aristoteles</span></a> ): <i>“Dua
garis lurus berpotongan konvergen dan tidak mungkin untuk dua garis lurus
konvergen menyimpang ke arah di mana mereka bertemu.</i> ” Khayyam kemudian
dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut puncak dari
sebuah segiempat Saccheri dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah
teorema tentang mereka, ia benar membantah kasus tumpul dan akut berdasarkan
dalil nya dan karena berasal klasik postulat Euclid yang tidak disadarinya
adalah setara dengan postulat sendiri. Contoh lain adalah anak al-Tusi, Sadr
al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai “Pseudo-Tusi”), yang menulis sebuah buku
tentang subjek di 1298, berdasarkan pengalaman kemudian al-Tusi, yang disajikan
lain setara hipotesis untuk paralel dalil . “Dia pada dasarnya revisi kedua
sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti proposisi banyak dari <i>Elemen.”</i>
Karyanya diterbitkan di <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Rome&usg=ALkJrhhajN3U1UhJsMCxrauEYOykG1R0-g" title="Roma"><span style="color: windowtext;">Roma</span></a> tahun 1594 dan dipelajari
oleh geometers Eropa, termasuk Saccheri yang mengkritik pekerjaan ini
serta yang dari Wallis.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Giordano_Vitale&usg=ALkJrhixotMAN8Gfg9rhqcytQBj2Y3LQxA" title="Giordano Vitale"><span style="color: windowtext;">Giordano Vitale</span></a>
, dalam bukunya <i>Euclide restituo</i> (1680, 1686), menggunakan Saccheri
segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin adalah jarak yang sama di
pangkalan AB dan CD KTT, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Dalam
sebuah karya berjudul <i>Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan
dari Semua Cacat),</i> yang diterbitkan tahun 1733, Saccheri geometri eliptik
cepat dibuang sebagai kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid
harus dimodifikasi untuk geometri berbentuk bulat panjang untuk bekerja) dan
mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil dalam geometri hiperbolik. Dia akhirnya
mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasil menunjukkan ketidakmungkinan
geometri hiperbolik. Klaimnya tampaknya telah didasarkan pada pengandaian
Euclidean, karena tidak ada kontradiksi <i>logis</i> hadir. Dalam upaya untuk
membuktikan geometri Euclidean ia malah tidak sengaja menemukan sebuah geometri
baru yang layak, tapi tidak menyadarinya.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Pada
1766 <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert&usg=ALkJrhiUD1SsWPyl8_sokVuFdPiCtbVI6A" title="Johann Heinrich Lambert"><span style="color: windowtext;">Johann Lambert</span></a>
menulis, tetapi tidak mempublikasikan, <i>Theorie der Parallellinien</i> di
mana ia mencoba, sebagai Saccheri lakukan, untuk membuktikan postulat kelima.
Dia bekerja dengan angka yang hari ini kita sebut <i>segiempat Lambert,</i>
suatu segiempat dengan tiga sudut kanan (dapat dianggap setengah dari segiempat
Saccheri). Dia segera menghilangkan kemungkinan bahwa sudut keempat adalah
tumpul, karena memiliki Saccheri dan Khayyam, dan kemudian melanjutkan untuk
membuktikan teorema banyak berdasarkan asumsi sudut akut. Tidak seperti
Saccheri, ia tidak pernah merasa bahwa ia telah mencapai kontradiksi dengan
asumsi ini. Dia telah membuktikan hasil non-Euclidean bahwa jumlah sudut dalam
segitiga meningkat sebagai luas segitiga berkurang, dan ini menyebabkan dia
untuk berspekulasi mengenai kemungkinan model kasus akut pada bola berjari-jari
imajiner. Dia tidak membawa ide ini lebih jauh.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Pada
saat ini itu sangat percaya bahwa alam semesta bekerja menurut prinsip-prinsip
geometri Euclidean.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red;">Penciptaan non-Euclidean Geometri </span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Awal
abad ke-19 akhirnya akan menyaksikan langkah-langkah yang menentukan dalam
penciptaan non-Euclidean geometri. Sekitar 1830, <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Hungary&usg=ALkJrhggqsKBkRPcTpK6zLFW94GSuL2VPw" title="Hongaria"><span style="color: windowtext;">Hungaria</span></a> matematika <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/J%25C3%25A1nos_Bolyai&usg=ALkJrhgp_lVFLF952kCo5aUUefKWCVvCrQ" title="János Bolyai"><span style="color: windowtext;">János Bolyai</span></a> dan
<a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Russia&usg=ALkJrhiZmqr9QCseDWpy82c-a3LA0yE5lQ" title="Rusia"><span style="color: windowtext;">Rusia</span></a> matematika <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Nikolai_Ivanovich_Lobachevsky&usg=ALkJrhiXDhEKHnOIGxKIuoToy6eZeWT28g" title="Nikolai Lobachevsky"><span style="color: windowtext;">Nikolai Lobachevsky</span></a>
secara terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya,
geometri hiperbolik disebut Bolyai-Lobachevskian geometri, baik sebagai
matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar non-Euclidean
geometri. <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Gauss&usg=ALkJrhjqxoR8EBZkKYsEloVgJ99MzPCBhg" title="Carl Gauss"><span style="color: windowtext;">Gauss</span></a> disebutkan
kepada ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah
dikembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelumnya, meskipun ia tidak
mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean
dengan meniadakan paralel mendalilkan, Bolyai bekerja di luar geometri di mana
kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada k
parameter. Bolyai berakhir karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin
untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri alam semesta
fisik Euclid atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann&usg=ALkJrhjz39Kf75S4WwB7Obxo3vTVi6yb5w" title="Bernhard Riemann"><span style="color: windowtext;">Bernhard Riemann</span></a>
, dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, mendirikan bidang <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_geometry&usg=ALkJrhjlRBW3mOfZSBdtSUDhMdeqn9Prdg" title="Riemannian geometri"><span style="color: windowtext;">geometri Riemann</span></a>
, membahas khususnya ide-ide sekarang disebut <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold&usg=ALkJrhj-aweegShZyYX9TdG65n3O7lzxmw" title="Berjenis"><span style="color: windowtext;">manifold</span></a> , <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_metric&usg=ALkJrhi2WR2jd-Dn-Xk7CNEAPgpkS1wfqA" title="Riemannian metrik"><span style="color: windowtext;">Riemannian metrik</span></a>
, dan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature&usg=ALkJrhhQOwTF_dFyB4WmxMq4WvOxLHOl-w" title="Lengkungan"><span style="color: windowtext;">kelengkungan</span></a> . Ia
dibangun sebuah keluarga tak terbatas geometri yang tidak Euclidean dengan
memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola unit dalam <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_space&usg=ALkJrhh08JtX-EdMVHKHhqoGCKuRl10Tog" title="Euclidean spasi"><span style="color: windowtext;">ruang Euclidean</span></a>
. Yang paling sederhana ini disebut <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry&usg=ALkJrhgQJ4ieOSY7vlm72saNAUFibiWUCA" title="Elliptic geometri"><span style="color: windowtext;">geometri berbentuk
bulat panjang</span></a> dan dianggap menjadi geometri non-Euclidean karena
kurangnya garis paralel.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red;">Terminologi </span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Itu
Gauss yang menciptakan istilah “non-euclidean geometri”. Dia merujuk pada
karyanya sendiri yang hari ini kita sebut <i>geometri hiperbolik.</i> Beberapa
penulis modern yang masih menganggap “non-euclidean geometri” dan “geometri
hiperbolik” menjadi sinonim. Pada tahun 1871, <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein&usg=ALkJrhivl9wIW-U02QX6CSRRxLSkuoJQ_Q" title="Felix Klein"><span style="color: windowtext;">Felix Klein</span></a> ,
dengan mengadaptasi metrik dibahas oleh <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Arthur_Cayley&usg=ALkJrhgea-tlNM3svz8pdJOGG-jlwW7KLg" title="Arthur Cayley"><span style="color: windowtext;">Arthur Cayley</span></a>
pada tahun 1852, mampu membawa sifat metrik menjadi sebuah lokasi yang
proyektif dan karena itu mampu menyatukan perawatan geometri hiperbolik,
euclidean dan berbentuk bulat panjang di bawah payung <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Projective_geometry&usg=ALkJrhgmO1eHRGTXJ32on3SIAiaiVU7EJw" title="Projective geometri"><span style="color: windowtext;">projective geometri</span></a>
. Klein bertanggung jawab untuk istilah “hiperbolik” dan “eliptik” (dalam
sistem, ia disebut geometri Euclidean “parabola”, sebuah istilah yang belum
selamat dari ujian waktu). Pengaruhnya telah menyebabkan penggunaan saat ini
dari “geometri non-euclidean” untuk berarti baik geometri “hiperbolik” atau
“berbentuk bulat panjang”.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Ada
beberapa hebat matematika yang akan memperpanjang daftar geometri yang harus
disebut “non-euclidean” dengan berbagai cara. Dalam disiplin ilmu lainnya,
terutama yang paling <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_physics&usg=ALkJrhiK1BXAulo0R8P3ga0WPgDjU8fHVQ" title="Matematika fisika"><span style="color: windowtext;">matematika fisika</span></a>
, istilah “non-euclidean” sering diartikan <i>tidak</i> Euclidean .</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red;">Aksioma Dasar non-Euclidean Geometri </span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Geometri
Euclidean aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya, sistem
yang asli Euclid lima postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai
bukti nya mengandalkan asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya
diambil sebagai aksioma. <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms&usg=ALkJrhhAWTtMvDAXDiCjDxocScZN-AJcEQ" title="Hilbert aksioma"><span style="color: windowtext;">sistem Hilbert</span></a>
yang terdiri dari 20 aksioma paling dekat mengikuti pendekatan Euclid dan
memberikan pembenaran untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan set
yang berbeda dari <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_notion&usg=ALkJrhhIsU-9Ry5QrAG2hoLbibBqvi8VaA" title="Primitif gagasan"><span style="color: windowtext;">istilah terdefinisi</span></a>
mendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang berbeda. Dalam semua pendekatan,
bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara dengan kelima Euclid
postulat, paralel dalil. <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert&usg=ALkJrhhVKsu-JjIA9jVLKb0Fpy5yF3O0sg" title="David Hilbert"><span style="color: windowtext;">Hilbert</span></a>
menggunakan bentuk aksioma Playfair, sementara <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Garrett_Birkhoff&usg=ALkJrhi9vVV658nN4pBhgH-GI_WBr3Gqng" title="Garrett Birkhoff"><span style="color: windowtext;">Birkhoff</span></a> ,
misalnya, menggunakan aksioma yang mengatakan bahwa “tidak ada sepasang yang
sama tetapi tidak kongruen segitiga. ” Dalam salah satu sistem, penghapusan
satu aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk apapun yang
diperlukan, dan meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_geometry&usg=ALkJrhhhOdEPAl0feuyEsdRuMzpO74L1dQ" title="Absolute geometri"><span style="color: windowtext;">geometri absolut</span></a>
. Sebagai pertama 28 proposisi Euclid (dalam <i>The Elements)</i> tidak
memerlukan penggunaan postulat paralel atau apa setara dengan itu, mereka semua
pernyataan benar dalam geometri mutlak.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Untuk
mendapatkan geometri non-Euclidean, paralel dalil (atau ekuivalen) <i>harus</i>
diganti oleh yang <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Negation&usg=ALkJrhiVZQd-fnMoQy7esVo7siv93cg0lw" title="Penyangkalan"><span style="color: windowtext;">negasi</span></a> .
Meniadakan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Playfair%27s_axiom&usg=ALkJrhjSo28ax4FnuoCbLT--3hP9QniJzg" title="Playfair 's aksioma"><span style="color: windowtext;">aksioma Playfair ‘s</span></a>
bentuk, karena itu adalah pernyataan majemuk (… terdapat satu dan hanya satu
…), bisa dilakukan dengan dua cara. Entah ada akan ada lebih dari satu baris
melalui paralel titik ke garis diberikan atau akan ada tidak ada garis melalui
titik paralel ke garis yang diberikan. Dalam kasus pertama, menggantikan
paralel dalil (atau ekuivalen) dengan pernyataan “Di pesawat, diberi titik P
dan garis <i>l</i> tidak melewati P, terdapat dua garis melalui P yang tidak
memenuhi <i>l”</i> dan menjaga semua aksioma lainnya, hasil <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry&usg=ALkJrhh62gFF8FgB0Xdqc_qNTAqHvMiWIA" title="Hiperbolis geometri"><span style="color: windowtext;">geometri hiperbolik</span></a>
. Kasus kedua tidak ditangani dengan mudah. Cukup mengganti paralel mendalilkan
dengan pernyataan, “Dalam pesawat, diberi titik P dan garis <i>l</i> tidak
melewati P, semua garis melalui P memenuhi <i>l”,</i> tidak memberikan satu set
konsisten aksioma. Ini mengikuti sejak garis paralel ada di geometri mutlak ,
tetapi pernyataan ini mengatakan bahwa tidak ada garis paralel. Masalah ini
dikenal (dalam kedok yang berbeda) untuk Khayyam, Saccheri dan Lambert dan
merupakan dasar untuk menolak mereka apa yang dikenal sebagai “kasus sudut
tumpul”. Untuk mendapatkan satu set konsisten aksioma yang meliputi aksioma ini
tentang tidak memiliki garis paralel, beberapa aksioma lain harus tweak.
Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem aksioma yang digunakan.
Beberapa diantaranya tweak akan memiliki efek memodifikasi kedua postulat
Euclid dari pernyataan bahwa segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas waktu
untuk pernyataan bahwa garis tak terbatas. <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann&usg=ALkJrhh-AqX7nW6R5oo7Bp8zljI_UtdjDw" title="Riemann"><span style="color: windowtext;">Riemann</span></a> ‘s <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry&usg=ALkJrhgQJ4ieOSY7vlm72saNAUFibiWUCA" title="Elliptic geometri"><span style="color: windowtext;">geometri eliptik</span></a>
muncul sebagai geometri paling alami memuaskan aksioma ini.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red;">Model non-Euclidean geometri </span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Untuk
rincian lebih lanjut tentang topik ini, lihat <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Models_of_non-Euclidean_geometry&usg=ALkJrhjbmd9DTDlELXgfgv4Ch0PeaYa0YQ" title="Model non-Euclidean geometri"><span style="color: windowtext;">Model
non-Euclidean geometri</span></a> .</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Pada
bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 180 °. Permukaan sebuah bola
bukan ruang Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah
perkiraan yang baik. Dalam sebuah segitiga kecil di muka bumi, jumlah dari
sudut sangat hampir 180 °.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Dua
geometri Euclidean dimensi <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Model_%28abstract%29&usg=ALkJrhjq4F7xq58PemwUQ9GrD3XCDhZKYw" title="Model (abstrak)"><span style="color: windowtext;">dimodelkan</span></a>
dengan gagasan kita tentang “datar <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_%28mathematics%29&usg=ALkJrhhMzD5-693j6P4EEZ-Hx7FgdgLO5Q" title="Plane (matematika)"><span style="color: windowtext;">pesawat</span></a> .
“</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red;">Geometri Elliptic </span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Model
sederhana untuk <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry&usg=ALkJrhgQJ4ieOSY7vlm72saNAUFibiWUCA" title="Elliptic geometri"><span style="color: windowtext;">geometri eliptik</span></a>
adalah bola, di mana garis ” <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Great_circle&usg=ALkJrhjFIEfhVsOJDmE8HqdQYny4T-l_9w" title="Jarak yg terpendek pd permukaan bumi"><span style="color: windowtext;">lingkaran
besar</span></a> “(seperti <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Equator&usg=ALkJrhjm-JBfXZgG3D4aNfG-8K0QwQVWfQ" title="Khatulistiwa"><span style="color: windowtext;">ekuator</span></a> atau <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Meridian_%28geography%29&usg=ALkJrhi61ollFw3StU7QW92lOp729NXRNw" title="Meridian (geografi)"><span style="color: windowtext;">meridian</span></a>
di <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Globe&usg=ALkJrhjiI_e1w-gioGfpyvU3xWrnqf55Kg" title="Bumi"><span style="color: windowtext;">dunia</span></a> ), dan poin yang
berlawanan satu sama lain (disebut <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Antipodal_points&usg=ALkJrhjSIpblFsOV0lDHWI8aeG1DK8lh4w" title="Antipodal poin"><span style="color: windowtext;">poin antipodal</span></a>
) diidentifikasi (dianggap sama). Ini juga salah satu model standar dari <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Real_projective_plane&usg=ALkJrhhOhDflwZWYluiioe-kYLXo8bt_wg" title="Nyata projective pesawat"><span style="color: windowtext;">pesawat
proyektif nyata</span></a> . Perbedaannya adalah bahwa sebagai model geometri
eliptik metrik diperkenalkan memungkinkan pengukuran panjang dan sudut,
sedangkan pada model pesawat proyektif tidak ada metrik tersebut.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Dalam
model berbentuk bulat panjang, untuk setiap garis yang diketahui <i>ℓ</i> dan
titik <i>A,</i> yang tidak pada <i>ℓ,</i> semua baris melalui <i>A</i> akan
berpotongan <i>ℓ.</i></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red;">Geometri Hiperbolik </span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Bahkan
setelah pekerjaan Lobachevsky, Gauss, dan Bolyai, pertanyaannya tetap: apakah
model seperti itu ada untuk <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry&usg=ALkJrhh62gFF8FgB0Xdqc_qNTAqHvMiWIA" title="Hiperbolis geometri"><span style="color: windowtext;">geometri hiperbolik</span></a>
? Model untuk <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry&usg=ALkJrhh62gFF8FgB0Xdqc_qNTAqHvMiWIA" title="Hiperbolis geometri"><span style="color: windowtext;">geometri hiperbolik</span></a>
dijawab oleh <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Eugenio_Beltrami&usg=ALkJrhixYjkKoyXqrRiOcirHjANcXDcmGg" title="Eugenio Beltrami"><span style="color: windowtext;">Eugenio Beltrami</span></a>
, pada 1868, yang pertama kali menunjukkan bahwa permukaan yang disebut <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Pseudosphere&usg=ALkJrhh1ZInYAvgOge6m7yOZveP-iSnuuQ" title="Pseudosphere"><span style="color: windowtext;">pseudosphere</span></a>
memiliki sesuai <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature&usg=ALkJrhhQOwTF_dFyB4WmxMq4WvOxLHOl-w" title="Lengkungan"><span style="color: windowtext;">kelengkungan</span></a> untuk
model sebagian dari <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_space&usg=ALkJrhgY9Mo0xWOW1_b9D7IcWmYWD-aYxA" title="Hiperbolik ruang"><span style="color: windowtext;">ruang hiperbolik</span></a>
, dan dalam makalah kedua di tahun yang sama, mendefinisikan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Klein_model&usg=ALkJrhg153uavSR3jsrqSV_ZM6-a2g3EBg" title="Model Klein"><span style="color: windowtext;">Model Klein</span></a> yang
model keseluruhan dari ruang hiperbolik, dan digunakan ini untuk menunjukkan
bahwa geometri Euclidean dan geometri hiperbolik adalah <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Equiconsistency&usg=ALkJrhjQewcnnfxW4WDSJIEuiiP9UtmrsA" title="Equiconsistency"><span style="color: windowtext;">equiconsistent</span></a>
, sehingga geometri hiperbolik adalah <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Logically_consistent&usg=ALkJrhi1XtLolFklyQxRf4P2KtcTD2irOw" title="Logis konsisten"><span style="color: windowtext;">logis konsisten</span></a>
jika dan hanya jika geometri Euclidean adalah. (Implikasi terbalik berikut dari
<a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Horosphere&usg=ALkJrhhgSUhK4XR-yJTceWCZx2pYku5S1A" title="Horosphere"><span style="color: windowtext;">horosphere</span></a> model
geometri Euclidean.)</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Dalam
model hiperbolik, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui <i>ℓ</i>
dan <i>Titik,</i> yang tidak pada <i>ℓ,</i> ada <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_set&usg=ALkJrhinC2I4NAyZfHZUu6UAyOSLDam36Q" title="Tak terbatas set"><span style="color: windowtext;">tak terhingga</span></a>
banyak baris melalui <i>A</i> yang tidak berpotongan <i>ℓ.</i></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Dalam
model ini konsep-konsep non-Euclidean geometri sedang diwakili oleh objek
Euclidean dalam pengaturan Euclidean. Ini memperkenalkan sebuah distorsi
perseptual dimana garis-garis lurus dari geometri non-Euclidean yang diwakili
oleh kurva Euclidean yang secara visual membungkuk. Ini “lentur” bukan milik
non-Euclidean baris, hanya kecerdasan dari cara mereka diwakili.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red;">Sifat Jarang</span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Euclid
dan geometri non-Euclidean secara alami memiliki sifat serupa, yaitu mereka
yang tidak tergantung pada sifat paralelisme. Kesamaan ini adalah subjek dari <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Neutral_geometry&usg=ALkJrhhwke7QtI9s9xH5CW4SYBM_xS-0RA" title="Netral geometri"><span style="color: windowtext;">geometri netral</span></a>
(juga disebut <i>geometri absolut).</i> Namun, sifat yang membedakan satu
geometri dari yang lain adalah orang-orang yang secara historis menerima
perhatian yang besar.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Selain
perilaku baris sehubungan dengan tegak lurus umum, disebutkan dalam
pendahuluan, kami juga memiliki berikut ini:</span></div>
<ul style="text-align: justify;" type="disc">
<li class="MsoNormal" style="line-height: normal;"><span style="font-size: small;">Sebuah <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_quadrilateral&usg=ALkJrhi_uK5RFHXOIia7ldikmS6oSjtSRg" title="Lambert segiempat"><span style="color: windowtext;">segiempat Lambert</span></a>
adalah segiempat yang memiliki tiga sudut kanan. Sudut keempat dari
segiempat Lambert adalah <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Acute_angle&usg=ALkJrhi_MC1Ec47qYRD9rKoi0zE6iWYpuw" title="Sudut lancip"><span style="color: windowtext;">akut</span></a> jika
geometri hiperbolik, sebuah <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Right_angle&usg=ALkJrhhdU3B60GwfW4N1zHplDojFognQTA" title="Sudut siku"><span style="color: windowtext;">sudut yang tepat</span></a>
jika geometri Euclidean adalah atau <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Obtuse_angle&usg=ALkJrhhnBSOgeWApOTFFzUhNktF62_TqkA" title="Sudut tumpul"><span style="color: windowtext;">tumpul</span></a> jika
geometri adalah berbentuk bulat panjang. Akibatnya, <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Rectangle&usg=ALkJrhhAZN9Xe46mKkPHuTKgmRGIcZ_vcQ" title="Empat persegi panjang"><span style="color: windowtext;">empat persegi
panjang</span></a> hanya ada dalam geometri Euclidean.</span></li>
</ul>
<ul style="text-align: justify;" type="disc">
<li class="MsoNormal" style="line-height: normal;"><span style="font-size: small;">Sebuah <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Saccheri_quadrilateral&usg=ALkJrhj2UFdafWnAZiFPV7XYIIlL5ot-IA" title="Saccheri segiempat"><span style="color: windowtext;">segiempat
Saccheri</span></a> adalah segiempat yang memiliki dua sisi dengan panjang
yang sama, baik tegak lurus ke samping disebut <i>basis.</i> Dua lainnya
dari sudut segiempat Saccheri disebut <i>sudut puncak</i> dan mereka
memiliki ukuran yang sama. Sudut puncak dari sebuah segiempat Saccheri
yang akut jika geometri hiperbolik, sudut yang tepat jika geometri
Euclidean adalah sudut tumpul dan jika geometri adalah berbentuk bulat
panjang.</span></li>
</ul>
<ul style="text-align: justify;" type="disc">
<li class="MsoNormal" style="line-height: normal;"><span style="font-size: small;">Jumlah dari ukuran sudut segitiga
apapun adalah kurang dari 180 ° jika geometri hiperbolik, sama dengan 180
° jika geometri Euclidean, dan lebih besar dari 180 ° jika geometri adalah
berbentuk bulat panjang. <i>Cacat</i> segitiga adalah nilai numerik (180 °
– jumlah dari ukuran sudut segitiga). Hasil ini juga dapat dinyatakan
sebagai: cacat segitiga dalam geometri hiperbolik adalah positif, cacat
segitiga dalam geometri Euclidean adalah nol, dan cacat segitiga dalam
geometri eliptik adalah negatif.</span></li>
</ul>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red;">Pentingnya </span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Non-Euclidean
geometri adalah contoh dari sebuah <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Paradigm_shift&usg=ALkJrhi1h4waQXhSRMF3VhQecFVA6dxnIg" title="Paradigma pergeseran"><span style="color: windowtext;">pergeseran
paradigma</span></a> dalam <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_science&usg=ALkJrhhw-jizC9_5_G5hK-FUI3hOzIGOnA" title="Sejarah ilmu pengetahuan"><span style="color: windowtext;">sejarah ilmu
pengetahuan</span></a> . Sebelum model pesawat non-Euclidean yang disajikan
oleh Beltrami, Klein, dan Poincaré, geometri Euclidean berdiri tertandingi sebagai
<a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_model&usg=ALkJrhhN1fYA5ZtXYv47MYFEbgYT7PxQCg" title="Model Matematika"><span style="color: windowtext;">model matematika</span></a>
dari <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Space&usg=ALkJrhgMTc_ZTy-6P5yCOnIIMFdOASj7eA" title="Ruang"><span style="color: windowtext;">ruang</span></a> . Selain itu,
karena substansi subjek dalam <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Synthetic_geometry&usg=ALkJrhhxHo1k0R-5mV02gOKGQ7KLFVI50w" title="Sintetis geometri"><span style="color: windowtext;">geometri sintetis</span></a>
adalah pameran kepala rasionalitas, titik Euclidean pandang diwakili otoritas
mutlak. Non-Euclidean geometri, meskipun diasimilasi oleh peneliti dipelajari,
terus menjadi tersangka bagi mereka yang tidak memiliki paparan konsep
hiperbolis dan elips.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Penemuan
non-Euclidean geometri memiliki efek riak yang jauh melampaui batas-batas
matematika dan ilmu pengetahuan. Filsuf <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Immanuel_Kant&usg=ALkJrhgkE2LbfJKDXKBbwFit3nB8rP_Snw" title="Immanuel Kant"><span style="color: windowtext;">Immanuel Kant</span></a>
pengobatan itu pengetahuan manusia memiliki peran khusus untuk geometri. Itu
adalah contoh utama tentang sintetis pengetahuan apriori, tidak berasal dari
indera atau disimpulkan melalui logika – pengetahuan kita tentang ruang
merupakan kebenaran bahwa kita dilahirkan dengan. Sayangnya bagi Kant,
konsepnya ini geometri unalterably benar adalah Euclidean. Teologi juga
dipengaruhi oleh perubahan dari kebenaran absolut untuk kebenaran relatif dalam
matematika yang adalah hasil dari pergeseran paradigma.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Keberadaan
non-Euclidean geometri berdampak pada “kehidupan intelektual” dari <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Victorian_England&usg=ALkJrhgrkF4djmp0pthHPp6DmQXirez00A" title="Inggris Victoria"><span style="color: windowtext;">Inggris Victoria</span></a>
dalam banyak hal dan khususnya adalah salah satu faktor yang menyebabkan yang
menyebabkan pemeriksaan ulang pengajaran geometri berdasarkan <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_Elements&usg=ALkJrhhYJZK2-JS7HV3m48nvf5f_QJAwZQ" title="Euclid 's Elemen"><span style="color: windowtext;">Euclid ‘s Elemen</span></a>
. Masalah kurikulum yang hangat diperdebatkan pada saat itu dan bahkan subyek
dari bermain, <i>Euclid dan Rivals modern,</i> ditulis oleh penulis <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&prev=/search%3Fq%3Dgeometri%2Bnon%2Beuclid%26hl%3Did%26biw%3D1024%26bih%3D422%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.co.id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Alice%27s_Adventures_in_Wonderland&usg=ALkJrhgYg-qT1hbXh2vfsFuyaOSRUlhT8g" title="Alice Adventures in Wonderland"><span style="color: windowtext;">Alice in
Wonderland</span></a> .</span><br />
<br />
<div style="color: red;">
<span style="font-size: small;">LATIHAN SOAL !</span></div>
<div style="color: red;">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="margin-left: 1in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">1.<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">Jelaskan pengertian geometri non-euclid?</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;"><span>
</span></span>
<div>
</div>
<span style="font-size: small;"><span>
</span></span>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 1in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">2.<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">Apa pebedaan geometri euclid dan
non-euclid?</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;"><span>
</span></span>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<span style="font-size: small;"><span>
</span></span>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 1in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">3.<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">Jelaskan secara singkat penciptaan
geometri non-euclid!</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;"><span>
</span></span>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<span style="font-size: small;"><span>
</span></span>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 1in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">4.<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">Jelaskan aksioma non-euclid geometri!</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;"><span>
</span></span>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<span style="font-size: small;"><span>
</span></span>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 1in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">5.<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">Sebutkan sifat serupa antara geometri
euclid dan geometri non-euclid?</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;"><span>
</span></span>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<span style="font-size: small;"><span>
</span></span>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast" style="margin-left: 1in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">6.<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span lang="IN" style="line-height: 115%;">Apa hubungan geometri non-euclid dan
geometri hiperbolik?</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>Astuti Setyoningsihhttp://www.blogger.com/profile/05216792163154917982noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7166776559415068699.post-1528226173893197622012-02-26T00:02:00.000-08:002012-03-20T21:19:14.630-07:00Sejarah Geometri Euclid<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><m:smallfrac m:val="off">
<m:dispdef>
<m:lmargin m:val="0">
<m:rmargin m:val="0">
<m:defjc m:val="centerGroup">
<m:wrapindent m:val="1440">
<m:intlim m:val="subSup">
<m:narylim m:val="undOvr">
</m:narylim></m:intlim>
</m:wrapindent>
</m:defjc></m:rmargin></m:lmargin></m:dispdef></m:smallfrac></span></div>
<div class="post-body entry-content" id="post-body-316179975867616113" style="text-align: justify;">
<div>
<span style="font-size: small;"><b><span lang="EN-US" style="color: red;">G</span></b><b><span style="color: red;">EOMETRI</span></b></span></div>
<div>
</div>
<span style="font-size: small;"><br /></span><br />
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><b><span lang="EN-US" style="color: #0070c0;">Definisi</span></b><b><span style="color: #0070c0;"> Geometri</span></b></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://nusrotulbariyah.files.wordpress.com/2010/01/geo.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://nusrotulbariyah.files.wordpress.com/2010/01/geo.jpg" /></a></span></div>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Salah satu cabang dari Matematika adalah Geometri. Geometri berasal dari bahasa Yunani yaitu <i>geo</i> yang artinya bumi dan <i>metro</i>
yang artinya mengukur. Geometri adalah cabang Matematika yang pertama
kali diperkenalkan oleh Thales (624-547 SM) yang berkenaan dengan relasi
ruang. Dari pengalaman, atau intuisi, kita mencirikan ruang dengan
kualitas fundamental tertentu, yang disebut aksioma dalam geometri.
Aksioma demikian tidak berlaku terhadap pembuktian, tetapi dapat
digunakan bersama dengan definisi matematika untuk titik, garis lurus,
kurva, permukaan dan ruang untuk menggambarkan kesimpulan logis.</span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Menurut
Novelisa Sondang bahwa “Geometri menjadi salah satu ilmu Matematika
yang diterapkan dalam dunia arsitektur; juga merupakan salah satu
cabang ilmu yang berkaitan dengan bentuk, komposisi, dan proporsi.”
Muhamad Fakhri Aulia menyebutkan bahwa geometri dalam pengertian
dasar adalah sebuah cabang ilmu yang mempelajari pengukuran bumi dan
proyeksinya dalam sebuah bidang dua dimensi.</span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Alders
(1961) menyatakan bahwa ”Geometri adalah salah satu cabang Matematika
yang mempelajari tentang titik, garis, bidang dan benda-benda ruang
beserta sifat-sifatnya, ukuran-ukurannya, dan hubungannya antara yang
satu dengan yang lain.”</span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Dari
beberapa definisi Geometri di atas dapat disimpulkan bahwa Geometri
adalah salah satu cabang Matematika yang mempelajari tentang bentuk,
ruang, komposisi beserta sifat-sifatnya, ukuran-ukurannya dan hubungan
antara yang satu dengan yang lain.</span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #0070c0;">Geometri Sulit?</span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Di
bangku sekolah dasar maupun menengah seperti, SD/MI, SMP/MTs, SMA/MA
atau SMK/MAK, materi geometri tidak diajarkan secara khusus, namun
materi itu ada dalam satu kesatuan mata pelajaran matematika. dalam
kurikulum matematika yang membahas mengenai geometri adalah pada bagian
yang membahas mengenai bentuk, bangun ruang, sudut dan sebagainya
sebagaimana yang sudah disampaikan di atas. Jika kita sedang mempelajari
Dimensi 3, yang meliputi balok, kubus, volume dan sebagainya, berarti
kita juga sedang mempelajarai geometri. Pada pokok bahasan inilah
(Dimensi 3) seorang guru biasanya mengalami kesulitan untuk
menjelaskannya kepada siswa. Mengapa? Kerena materi ini membutuhkan
kemampuan visualisasi siswa yang relative tinggi. Sebagai contoh ketika
siswa menjumpai soal dimensi 3 dimana siswa diminta untuk mencari
panjang garis yang menghubungkan titik tengah 2 diagonal ruang suatu
balok. Jika tidak ada alat peraga atau media pembelajaran, tentu tidak
semua siswa mampu memvisualisasikannya. Nah, saat itulah para siswa
dituntut untuk membayangkan sebuah bangun agar bisa memecahkan soal.
Tidak hanya masalah kemampuan memvisualisasikan, namun juga pemahaman
siswa akan istilah rusuk dan rangka juga ternyata bermasalah. Ini
dialami oleh para siswa di tingkat pendidikan dasar. Sebagaimana
disampaikan oleh Wahyu Setiawan (1996 :4-5) bahwa daya serap siswa kelas
IV Sekolah Dasar terhadap konsep-konsep volume rendah. Selain itu
Soedjadi (1995) juga mengungkapkan bahwa masih banyak siswa yang
mengalami miskonsepsi, misalnya ”siswa menyebut rusuk pada bangun ruang
merupakan rangka yang menopang tubuh”.</span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Mahasiswa
di jenjang pendidikan tinggi pun ternyata juga mengalami kesulitan
dalam memahami materi. Ini diindikasikan dengan rendahnya prestasi
belajar geometri mahasiswa. Seperti yang terjadi di prodi pendidikan
matematika suatu universitas. Prosentasi kelulusan mahasiswa universitas
tersebut dalam mengikuti perkuliahan geometri hanya mencapai ± 55 % –
65 %, dan sebagian besar yang lulus mendapat C. Prosentasi ini relatif
rendah dibandingkan mata kuliah yang lain. Ini menjadi salah satu
indikator bahwa materi Geometri memang relatif sulit untuk dipelajari.</span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #0070c0;">Alternatif Solusi</span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Sebagai
guru Matematika, tentu kita berusaha keras agar sesulit apapun materi
matematika, siswa mampu memahaminya dengan mudah. Berbagai alat peraga
atau media pembelajaran serta metode pun diterapkan di kelas agar
kompetensi dasar dapat tercapai secara tuntas.</span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Dewasa
ini kita mengenal adanya alat peraga tiga dimensi yang bisa
memvisualisasikan secara gamblang bagaimana wujud tiga dimensi beserta
sudut-sudut yang ada di dalamnya. Misal bangun kubus atau balok yang
kita buat dari kertas karton. Namun kelemahan dari alat peraga ini, kita
tidak akan mampu melihat titik sudut yang ada di dalam balok atau kubus
tersebut. Dan ketika ada soal yang menghendaki besarnya sudut yang
diapit oleh dua garis diagonal ruang, maka tidak banyak siswa yang mampu
memvisualisasikannya jika menggunakan alat peraga ini. Kecuali jika
kubus atau balok itu dalam keadaan terbuka.</span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Di
samping alat peraga yang terbuat dari kertas, ada juga alat peraga
bangun ruang yang terbuat dari kaca, atau bahan seperti mika. Tentu ini
akan sangat membantu siswa untuk bisa memvisualisasikan besarnya sudut
yang diapit oleh dua diagonal ruang.</span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Selain
kedua alat peraga di atas, kita bisa juga menggunakan alat peraga
berbasis IT. Ada beberapa alat peraga yang biasa kita kenal yaitu <i>Microsoft Power Point</i> dan <i>Macromedia Flash</i>.
Selain kedua alat peraga itu, ada alat peraga yag sangat memudahkan
kita dalam menggambarkan bangun tiga dimensi yang ukurannya bisa sesuai
dengan keinginan kita. Keakuratan ukurannya sangat tinggi. Tinggal meng
‘klik’ tombol tertentu, kita akan mendapatkan gambar bangun tiga dimensi
sesuai dengan yang kita inginkan.Warna gambar juga tentu bisa kita
atur. Alat peraga ini berupa software yang yang dinamai <i>Cabri 3d</i>. Kita mungkin akan banyak menjumpai software <i>Macromedia Flash</i>, tapi tidak bagi software <i>Cabri 3d</i>. Software ini tidak beredar luas. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><b><span lang="EN-US" style="color: red;">GEOMETRI EUCLID</span></b></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span style="color: #0070c0;">Euclid</span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<span style="font-size: small;"><br /></span><br />
<div>
</div>
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Tidak
banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti
Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Meskipun semasa hidupnya
tokoh-tokoh seperti Napoleon, Martin Luther, Alexander yang Agung, jauh
lebih terkenal ketimbang Euclid tetapi dalam jangka panjang ketenarannya
mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu.</span></span><br />
<div>
</div>
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Selain
kemasyhurannya, hampir tak ada keterangan terperinci mengenai kehidupan
Euclid yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia pernah aktif
sebagai guru di Iskandariah, Mesir, di sekitar tahun 300 SM, tetapi
kapan dia lahir dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita
tidak tahu di benua apa dan dikota apa dia dilahirkan. Meski dia menulis
beberapa buku dan diantaranya masih ada yang tertinggal, kedudukannya
dalam sejarah terutama terletak pada bukunya yang hebat mengenai
ilmu ukur yang bernama The Elements.</span></span><br />
<div>
</div>
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Arti
penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus
pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam
buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat
dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan
dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh
dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling
utama, pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya
tentang kemungkinan menarik garis lurus diantara dua titik. Sesudah itu
dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah difahami
oleh orang-orang sesudahnya. Bilamana perlu, dia menyediakan petunjuk
cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan
percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan. Perlu
dicatat bahwa buku The Elements selain terutama merupakan pengembangan
dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung
bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan.</span></span><br />
<div>
</div>
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Buku
The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000 tahun
dan tak syak lagi merupakan buku yang paling sukses yang pernah
disusun manusia. Begitu hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari
bentuknya saja sudah mampu menyisihkan semua buku yang pernah
dibuat orang sebelumnya dan yang tak pernah digubris lagi. Aslinya
ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian buku The Elements itu
diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa. Terbitan pertama muncul tahun
1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuan mesin cetak oleh Gutenberg.
Sejak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah dalam beribu-ribu
edisi yang beragam corak.</span></span><br />
<div>
</div>
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Sebagai
alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih
berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu
merupakan contoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus
merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak
manusia.</span></span><br />
<div>
</div>
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Adalah
adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid merupakan faktor penting
bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlah
sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula
sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut
ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan
empiris dan percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa hati-hati
dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak.</span></span><br />
<div>
</div>
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Kita
masih bertanya-tanya apa sebab ilmu pengetahuan muncul di Eropa dan
bukan di Cina, tetapi rasanya aman jika kita menganggap bahwa hal itu
bukanlah semata-mata lantaran soal kebetulan. Memanglah, peranan yang
digerakkan oleh orang-orang brilian seperti Newton, Galileo dan
Copernicus mempunyai makna yang teramat penting. Tetapi, tentu ada
sebab-musababnya mengapa orang-orang ini muncul di Eropa. Mungkin sekali
faktor historis yang paling menonjol apa sebab mempengaruhi Eropa dalam
segi ilmu pengetahuan adalah rasionalisme Yunani, bersamaan dengan
pengetahuan matematika yang diwariskan oleh Yunani kepada Eropa. Patut
kiranya dicatat bahwa Cina --meskipun berabad-abad lamanya teknologinya
jauh lebih maju ketimbang Eropa-- tak pernah memiliki struktur
matematika teoritis seperti halnya yang dipunyai Eropa. Tak ada seorang
matematikus Cina pun yang punya hubungan dengan Euclid. Orang-orang Cina
menguasai pengetahuan yang bagus tentang ilmu geometri praktis, tetapi
pengetahuan geometri mereka tak pernah dirumuskan dalam suatu skema yang
mengandung kesimpulan.</span></span><br />
<div>
</div>
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Bagi
orang-orang Eropa, anggapan bahwa ada beberapa dasar prinsip-prinsip
fisika yang dari padanya semuanya berasal, tampaknya hal yang wajar
karena mereka punya contoh Euclid yang berada di belakang mereka. Pada
umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinya Euclid hanyalah sebuah
sistem abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa gagasan Euclid --dan
dengan sendirinya teori euclid-- memang benar-benar merupakan kenyataan
yang sesungguhnya.</span></span><br />
<div>
</div>
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Pengaruh
Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak Newton
menulis buku tersohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip
dengan The Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan
Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka
secara logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali apa yang
diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof
Spinoza.</span></span><br />
<div>
</div>
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Kini,
para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid . bukan
satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh
serta yang dapat direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150
tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan a la Euclid.
Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para
ilmuwan menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam
penerapan masalah cakrawala yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar
"Lubang hitam" dan bintang neutron --misalnya-- dimana gayaberat berada
dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti
tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai
ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka,
karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan
perkiraan yang mendekati kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia
belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid
maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah.</span></span><br />
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span style="color: red;">Sejarah Geometri Euclid</span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US">Geometri Euclidean</span></b>
<span lang="EN-US"> adalah sistem matematika yang dikaitkan dengan </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Alexandria&usg=ALkJrhiNHiUsLC_9tI5D_XjGKkiMBlNIWg" title="Alexandria"><span style="color: blue;">Alexandria</span></a></span><span lang="EN-US"> </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Greek_mathematics&usg=ALkJrhjeg384HXMaZp-MvY6zaEM8BSqzsw" title="Yunani matematika"><span style="color: blue;">matematikawan Yunani</span></a></span><span lang="EN-US"> </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid&usg=ALkJrhjembUTIC0Gh1srIPqH6O5nnBmQpw" title="Euclid"><span style="color: blue;">Euclid</span></a></span><span lang="EN-US"> , yang dijelaskan dalam buku teks tentang </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Geometry&usg=ALkJrhiuWUSuXUFlN725DJuEOTwLPWKT1g" title="Geometri"><span style="color: blue;">geometri</span></a></span><span lang="EN-US"> yaitu </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_Elements&usg=ALkJrhjcaJA2IMKQLv53365kouQVCrgTpw" title="Euclid 's Elemen"><i><span style="color: blue;">Elements</span></i></a></span><span lang="EN-US"> . Metode Euclid terdiri dalam asumsi satu set kecil intuitif menarik </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom&usg=ALkJrhjRYLAIMGt1wC4ijH57x1-bQXY3Vg" title="Aksioma"><span style="color: blue;">aksioma</span></a></span><span lang="EN-US"> , dan menyimpulkan lainnya </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Proposition&usg=ALkJrhi3gDo3DMn9aRnzWWOFCH4uTNwZVQ" title="Dalil"><span style="color: blue;">proposisi</span></a></span><span lang="EN-US"> ( </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Theorem&usg=ALkJrhjb5cqOCmYlwF7_A7N8hTFf89db2A" title="Dalil"><span style="color: blue;">dalil</span></a></span><span lang="EN-US">
) dari ini. Meskipun banyak dari hasil Euclid telah dinyatakan oleh
matematikawan sebelumnya, Euclid adalah yang pertama untuk menunjukkan
bagaimana proposisi-proposisi bisa masuk ke dalam deduktif dan
komprehensif </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Logical_system&usg=ALkJrhgvJ3EW7jN8GqrRm-YWtn75rYkUTw" title="Logical sistem"><span style="color: blue;">sistem logis</span></a></span><span lang="EN-US"> . <i>Unsur</i> dimulai dengan pesawat geometri, masih diajarkan di </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Secondary_school&usg=ALkJrhjzqNUC0tNyKb0mR9njQggB-n1lrw" title="Sekolah menengah"><span style="color: blue;">sekolah menengah</span></a></span><span lang="EN-US"> sebagai yang pertama </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Axiomatic_system&usg=ALkJrhiMJvR-us4yug0Lmfotr3YySD_c2g" title="Aksiomatis sistem"><span style="color: blue;">sistem aksiomatik</span></a></span><span lang="EN-US"> dan contoh pertama dari </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_proof&usg=ALkJrhj8mbaWrQuE4dUIum5CjXoXlA6aMA" title="Matematika bukti"><span style="color: blue;">bukti formal</span></a></span><span lang="EN-US"> . Berpindah ke </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_geometry&usg=ALkJrhiGD52Jne6AF0KRmykGo_vQDTbApA" title="Ilmu ukur ruang"><span style="color: blue;">geometri solid</span></a></span><span lang="EN-US"> dari </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Three_dimensions&usg=ALkJrhiIEe24sn7c9FQYHx3GIUUaluP88g" title="Tiga dimensi"><span style="color: blue;">tiga dimensi</span></a></span><span lang="EN-US"> . Banyak dari <i>Elemen</i> menyatakan hasil dari apa yang sekarang disebut </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Algebra&usg=ALkJrhjjfkfdvxtb-NQInvxb8iWcgLoTzw" title="Aljabar"><span style="color: blue;">aljabar</span></a></span><span lang="EN-US"> dan </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Number_theory&usg=ALkJrhhUPOIM2PX5V_y815AvE8F2DTOlJQ" title="Jumlah teori"><span style="color: blue;">nomor teori</span></a></span><span lang="EN-US"> , ditulis dalam bahasa geometris. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Selama
lebih dari dua ribu tahun, kata sifat "Euclid" tidak diperlukan karena
tidak ada geometri lain yang disusun. Aksioma Euclid nampak seperti
sangat jelas bahwa pembuktian teorema lainnya dianggap benar dalam arti,
mutlak sering metafisik,. Namun, sekarang banyak lainnya </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Self-consistent&usg=ALkJrhiOfgjk2dHSAhVmPE2-IpaH3IkFRA" title="Konsisten diri"><span style="color: blue;">konsisten diri</span></a></span><span lang="EN-US"> </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry&usg=ALkJrhimIZul2kol79o8aCcR2rKIO__JIg" title="Non-Euclidean geometri"><span style="color: blue;">non-Euclidean geometri</span></a></span><span lang="EN-US"> diketahui, yang pertama yang telah ditemukan pada awal abad 19. Implikasi dari </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein&usg=ALkJrhh3XCHfduPgmtsNk91BKCi-QWvboA" title="Einstein"><span style="color: blue;">Einstein</span></a></span><span lang="EN-US"> teori </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/General_relativity&usg=ALkJrhhSLaqneptEHI9Wfzo6m7klcoab9Q" title="Relativitas umum"><span style="color: blue;">relativitas umum</span></a></span><span lang="EN-US"> adalah bahwa </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_space&usg=ALkJrhiBHowCFCQNlClYkVXAhKqmB9qEGw" title="Euclidean spasi"><span style="color: blue;">ruang Euclidean</span></a></span><span lang="EN-US"> adalah pendekatan yang baik terhadap sifat ruang fisik hanya di mana </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity&usg=ALkJrhjiV1c0LAYaD3r70zsOp9MDBmF0HA" title="Gaya berat"><span style="color: blue;">medan gravitasi</span></a></span><span lang="EN-US"> tidak terlalu kuat. </span><span lang="EN-US"> </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Unsur</span></b><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;"> </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><i><span lang="EN-US">Unsur</span></i><span lang="EN-US">
terutama sebuah sistematisasi pengetahuan awal geometri. Keunggulannya
di atas perawatan sebelumnya dengan cepat diakui, dengan hasil bahwa ada
sedikit minat dalam melestarikan yang sebelumnya, dan mereka sekarang
hampir semua hilang. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Buku I-IV dan VI membahas geometri bidang datar. Banyak hasil tentang tokoh-tokoh pesawat terbukti, misalnya, <i>Jika segitiga memiliki dua sudut yang sama, maka sisi yang bersesuaian dengan sudut tersebut adalah sama .</i> </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem&usg=ALkJrhhSI9oruYFFhsK0KvBSrwmU_r1uBg" title="Pythagoras Teorema"><span style="color: blue;">Teorema Pythagoras</span></a></span><span lang="EN-US"> terbukti. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Buku
V dan VII-X berurusan dengan nomor teori, dengan nomor diperlakukan
secara geometris melalui representasi mereka sebagai segmen garis dengan
berbagai panjang. Pengertian seperti </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_numbers&usg=ALkJrhiPEj3a_VSFRyZ9DVFPKWwSO0Qf5w" title="Perdana nomor"><span style="color: blue;">bilangan prima</span></a></span><span lang="EN-US"> dan </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_number&usg=ALkJrhjN6izCymyuFKwMC2B1dn3M2nq00A" title="Bilangan rasional"><span style="color: blue;">rasional</span></a></span><span lang="EN-US"> dan </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number&usg=ALkJrhgDymELOLutcUaYFRJ2ItfG-Q_TiQ" title="Irasional nomor"><span style="color: blue;">bilangan irasional</span></a></span><span lang="EN-US"> diperkenalkan. Yang tak terbatas bilangan prima terbukti. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Buku
XI-XIII geometri perhatian padat. Hasil khas adalah rasio 01:03 antara
volume kerucut dan silinder dengan ketinggian yang sama dan basis. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt;">
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Parallel_postulate_en.svg/800px-Parallel_postulate_en.svg.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Parallel_postulate_en.svg/800px-Parallel_postulate_en.svg.png" width="320" /></a></span></div>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Persamaan
postulat: Jika dua garis berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga
jumlah dari sudut-sudut bagian dalam di satu sisi kurang dari dua sudut
yang tepat, maka mau tidak mau harus dua baris saling berpotongan pada
sisi jika diperpanjang cukup jauh. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Aksioma </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Geometri Euclidean adalah </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Axiomatic_system&usg=ALkJrhiMJvR-us4yug0Lmfotr3YySD_c2g" title="Aksiomatis sistem"><span style="color: blue;">sistem aksiomatik</span></a></span><span lang="EN-US"> , di mana semua </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Theorems&usg=ALkJrhhPAxhgphqttfhpABepuuQQh241hQ" title="Teorema"><span style="color: blue;">teorema</span></a></span><span lang="EN-US"> ("pernyataan benar") berasal dari sejumlah kecil aksioma. Menjelang awal buku pertama dari <i>Elemen,</i> Euclid memberikan lima </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Postulate&usg=ALkJrhjpf8-Pk__9hZaUn8UiEFrPxg8smw" title="Mendalilkan"><span style="color: blue;">postulat</span></a></span><span lang="EN-US"> (aksioma) untuk pesawat geometri , menyatakan dalam hal konstruksi (sebagaimana diterjemahkan oleh Thomas Heath): </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">"Mari berikut akan mendalilkan": </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">1.<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span lang="EN-US">"Untuk menggambar </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Straight_line&usg=ALkJrhgtVPsOVaFs-8an7LDLj-gayqXzlw" title="Garis lurus"><span style="color: blue;">garis lurus</span></a></span><span lang="EN-US"> dari setiap </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Point_%28geometry%29&usg=ALkJrhg47MFTMQHA_TuLKBYFAK08iDD0Vg" title="Point (geometri)"><span style="color: blue;">titik</span></a></span><span lang="EN-US"> ke titik apapun. " </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">2.<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span lang="EN-US">"Untuk menghasilkan [memperluas] sebuah </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Line_segment&usg=ALkJrhhWojhAUQFZYyYTe_02PtvfK25Aog" title="Ruas garis"><span style="color: blue;">garis lurus yang terbatas</span></a></span><span lang="EN-US"> terus menerus dalam garis lurus. " </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">3.<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span lang="EN-US">"Untuk menggambarkan </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Circle&usg=ALkJrhgli8ni2BgL70Gl40CREw90q7bQhQ" title="Lingkaran"><span style="color: blue;">lingkaran</span></a></span><span lang="EN-US"> dengan pusat dan jarak [radius]. " </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">4.<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span lang="EN-US">"Itu semua sudut yang tepat sama dengan satu sama lain." </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">5.<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><i><span lang="EN-US">Para </span></i><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate&usg=ALkJrhhTs1MynvsgO5GShVkgE715yHTnIw" title="Paralel mendalilkan"><i><span style="color: blue;">paralel dalil</span></i></a></span><span lang="EN-US">
: "Itu, jika garis lurus jatuh di dua jalur lurus membuat sudut
interior pada sisi yang sama kurang dari dua sudut yang tepat, dua garis
lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang
adalah sudut kurang dari dua sudut yang tepat. " </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Meskipun
pernyataan Euclid dari postulat hanya secara eksplisit menegaskan
keberadaan konstruksi, mereka juga diambil untuk menjadi unik. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><i><span lang="EN-US">Elements</span></i><span lang="EN-US"> juga memasukkan lima "notasi biasa": </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">1.<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span lang="EN-US">Hal-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama satu dengan lainnya. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">2.<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span lang="EN-US">Jika sesuatu yang sama ditambahkan ke sama, maka keutuhan adalah sama. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">3.<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span lang="EN-US">Jika sesuatu yang sama dikurangkan dari sama, maka sisanya adalah sama. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">4.<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span lang="EN-US">Hal-hal yang bertepatan dengan satu sama lain sama satu sama lain. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">5.<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span lang="EN-US">Keseluruhan lebih besar daripada bagian. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Paralel postulat </span></b></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Untuk
nenek moyang, paralel tampak kurang jelas </span><span lang="EN-US">mendalilkan</span><span lang="EN-US"> dari yang lain.
Euclid sendiri tampaknya telah dianggap sebagai yang secara kualitatif
berbeda dari yang lain, sebagaimana dibuktikan oleh organisasi dari <i>Elemen:</i> 28 yang pertama ia menyajikan proposisi adalah mereka yang dapat dibuktikan tanpa itu. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Aksioma banyak alternatif dapat dirumuskan yang sama </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Logical_consequence&usg=ALkJrhhfO0_ox0zhAm4D87i-yTXIA-IL9Q" title="Konsekuensi logis"><span style="color: blue;">konsekuensi logis</span></a></span><span lang="EN-US"> sebagai paralel dalil. Misalnya </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Playfair%27s_axiom&usg=ALkJrhj49vrOrsIGrqT8wc71Lap_QH4cDQ" title="Playfair 's aksioma"><span style="color: blue;">aksioma Playfair 's</span></a></span><span lang="EN-US"> menyatakan: </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0.0001pt 36pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Dalam
pesawat, melalui titik tidak pada garis lurus yang diberikan, paling
banyak satu baris dapat ditarik bahwa tidak pernah memenuhi garis yang
diberikan. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt;">
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Euclid-proof.svg/445px-Euclid-proof.svg.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Euclid-proof.svg/445px-Euclid-proof.svg.png" width="248" /></a></span></div>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Sebuah
bukti dari elemen Euclid bahwa, mengingat segmen garis, segitiga sama
sisi ada yang mencakup segmen sebagai salah satu sisinya. Buktinya
adalah dengan mengkonstruksi sebuah segitiga sama sisi ΑΒΓ dibuat dengan
menggambar lingkaran dan Δ Ε berpusat pada poin Α dan Β, dan mengambil
satu persimpangan lingkaran sebagai titik ketiga dari segitiga. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Metode pembuktian </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Geometri Euclid adalah </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Constructive_proof&usg=ALkJrhh9j3GincxpERp8IrQg2v2-ozU4LQ" title="Konstruktif bukti"><i><span style="color: blue;">konstruktif</span></i></a></span><span lang="EN-US">
. Postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahwa keberadaan dan keunikan dari
bidang geometri tertentu, dan penegasan ini adalah konstruksi alam:
yaitu, kita tidak diberitahu bahwa sesuatu itu ada, tetapi juga kita
diberikan metode untuk membuatnya dengan lebih dari satu tidak ada </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Compass_and_straightedge&usg=ALkJrhjqg6Mz8kFkavkYy_UPkNZuV2r9dQ" title="Kompas dan sejajar"><span style="color: blue;">kompas dan lurus yang tidak bertanda</span></a></span><span lang="EN-US"> . Dalam hal ini, geometri Euclid adalah lebih konkrit daripada kebanyakan sistem aksiomatik modern seperti </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory&usg=ALkJrhjRhKl-Fs-UaPGQ2E5UPo_T8ofjXQ" title="Mengatur teori"><span style="color: blue;">teori set</span></a></span><span lang="EN-US">
, dimana sering menegaskan keberadaan objek tanpa memberitahukan
bagaimana mengkonstruksi mereka, atau menegaskan keberadaan objek yang
tidak dapat dibangun dalam teori. Tepatnya, garis-garis pada kertas </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Scientific_modelling&usg=ALkJrhhc4x0exVBqG1MQrLlq_Ab28my9ZQ" title="Ilmiah pemodelan"><i><span style="color: blue;">model</span></i></a></span><span lang="EN-US">
dari objek didefinisikan dalam sistem formal, bukan contoh objek
tersebut. Misalnya garis lurus Euclidean memiliki lebar atau tidak, tetapi
setiap garis yang ditarik </span><span lang="EN-US">akan</span><span lang="EN-US"> nyata . Meskipun hampir semua
matematikawan modern yang mempertimbangkan </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Existence_theorem&usg=ALkJrhgkaYyEDP8IJZB5257Gf00R4iBYaA" title="Keberadaan teorema"><span style="color: blue;">metode nonconstructive</span></a></span><span lang="EN-US">
hanya sebagai suara yang konstruktif, bukti konstruktif Euclid
sering diartikan keliru sebagai metode nonconstructive misalnya, beberapa bukti
Pythagorean nomor </span><span lang="EN-US">irasional</span><span lang="EN-US"> yang terlibat, yang biasanya
diperlukan pernyataan seperti "Cari ukuran umum terbesar dari ... " </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Euclid sering digunakan </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_contradiction&usg=ALkJrhjcNXxPY9pQHwVzPVcCmImqRq2mqQ" title="Bukti dengan kontradiksi"><span style="color: blue;">bukti oleh kontradiksi</span></a></span><span lang="EN-US">
. Geometri Euclidean juga memungkinkan metode superposisi, di mana
angka ditransfer ke titik lain di ruang angkasa. Misalnya, proposisi
I.4, pada kongruensi segitiga dengan aksioma sisi-sudut-sisi, terbukti dengan memindahkan
salah satu dari dua segitiga sehingga salah satu sisinya bertepatan
dengan sisi segitiga sama lain, dan kemudian membuktikan bahwa sisi lain
bertepatan juga . Beberapa perawatan modern menambahkan seperenam
postulat, kekakuan segitiga, yang dapat digunakan sebagai alternatif
untuk superposisi. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Sistem pengukuran dan aritmatika </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Geometri
Euclidean memiliki dua tipe dasar pengukuran: sudut dan jarak. Skala
sudut adalah mutlak, dan Euclid menggunakan sudut yang tepat sebagai
unit dasarnya, sehingga, misalnya, sebuah sudut 45 derajat akan disebut
sebagai setengah dari sudut kanan. Skala jarak relatif, satu
sewenang-wenang mengambil segmen garis dengan panjang tertentu sebagai
unit, dan jarak lainnya disajikan dalam kaitannya dengan hal itu. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Sebuah garis dalam geometri Euclidean adalah model </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number_line&usg=ALkJrhgiIdS9gN0v7dGaQMKKJKLTsxn8CA" title="Nyata nomor baris"><span style="color: blue;">garis bilangan real</span></a></span><span lang="EN-US">
. Sebuah segmen garis adalah bagian dari garis yang dibatasi oleh dua
titik akhir, dan berisi setiap titik pada garis antara titik akhir.
Penambahan diwakili oleh konstruksi di mana satu segmen garis akan
disalin ke akhir dari suatu segmen garis untuk memperpanjang panjangnya,
dan juga untuk pengurangan. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Pengukuran
luas dan volume berasal dari jarak. Sebagai contoh, sebuah persegi
panjang dengan lebar 3 dan panjang 4 memiliki luas yang mewakili produk,
12. Karena interpretasi geometris dari perkalian terbatas pada tiga
dimensi, tidak ada cara langsung menafsirkan produk dari empat atau
lebih angka, dan Euclid dihindari produk tersebut, meskipun mereka
tersirat, misalnya, dalam bukti buku IX, proposisi 20. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt;">
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Congruentie.svg/594px-Congruentie.svg.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="101" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Congruentie.svg/594px-Congruentie.svg.png" width="320" /></a></span></div>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Contoh kongruensi. Dua angka di sebelah kiri adalah kongruen, sementara yang ketiga adalah </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Similarity_%28geometry%29&usg=ALkJrhgrzgXORLUz4KwvEeKhfrpfyGlU9w" title="Kesamaan (geometri)"><span style="color: blue;">serupa</span></a></span><span lang="EN-US">
kepada mereka. Angka terakhir adalah tidak. Perhatikan bahwa
kongruensi mengubah beberapa sifat, seperti lokasi dan orientasi,
tetapi membiarkan yang lain tidak berubah, seperti </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Distance&usg=ALkJrhgh_L5nQflpoc2G2fsLn6B5fNl_tw" title="Jarak"><span style="color: blue;">jarak</span></a></span><span lang="EN-US"> dan </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Angle&usg=ALkJrhiQ8yrTSpx_E5bOf2Ivf484kjf1Kw" title="Sudut"><span style="color: blue;">sudut</span></a></span><span lang="EN-US"> . Jenis kedua sifat ini disebut </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_%28mathematics%29&usg=ALkJrhjyH3fTt6iae7t4P51sND3Hp_mfXQ" title="Invarian (matematika)"><span style="color: blue;">invariants</span></a></span><span lang="EN-US"> dan pelajaran itu adalah inti dari geometri. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Euclid
mengacu pada sepasang garis, atau sepasang bangun planar atau padat,
sebagai "sama" (ἴσος) jika panjang mereka, daerah, atau volume adalah
sama, dan juga untuk sudut. Istilah lebih kuat " <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_%28geometry%29&usg=ALkJrhjAKrp5gVGppO0lwI3V9ZAUrV1QTg" title="Kesesuaian (geometri)"><span style="color: blue;">kongruen</span></a>
"mengacu pada ide bahwa bangun dengan seluruh ukuran yang sama dan
bentuk sebagai bentuk lain. Atau, dua bangun yang kongruen jika bangun tersebut
dapat dipindahkan di atas yang lain sehingga cocok dengan persis.
(Flipping di atas diperbolehkan.) Jadi, misalnya, persegi panjang 2x6
dan 3x4 persegi panjang adalah sama tetapi tidak kongruen, dan huruf R
adalah kongruen dengan bayangannya. Angka yang akan kongruen kecuali
untuk ukuran mereka yang berbeda disebut sebagai serupa. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Notasi dan terminologi </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Penamaan poin dan angka </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Poin
lazim diberi nama menggunakan huruf alfabet. Objek lainnya, seperti
garis, segitiga, atau lingkaran, diberi nama dengan daftar cukup banyak
poin untuk menjemput mereka keluar jelas dari angka yang relevan,
misalnya, segitiga ABC biasanya akan menjadi segitiga dengan simpul pada
titik-titik A, B, dan C . </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">sudut pelengkap dan penunjang </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Sudut yang jumlahnya 90 derajat adalah sudut siku-siku disebut </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Complementary_angles&usg=ALkJrhgwXrHKDt4zeaU9sZCYYV_HiMxfhA" title="Pelengkap sudut"><span style="color: blue;">komplementer</span></a></span><span lang="EN-US"> , sedangkan sudut yang jumlahnya 180 derajat adalah sudut lurus adalah </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Supplementary_angles&usg=ALkJrhjifmYNzvUPWNSyy7SEOgHGTdDi_A" title="Tambahan sudut"><span style="color: blue;">tambahan</span></a></span><span lang="EN-US"> <span style="color: blue;">(suplementer).</span> </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Versi Modern notasi Euclid </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Dalam terminologi modern, sudut biasanya akan diukur dalam </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Degree_%28angle%29&usg=ALkJrhgvU_gWWZKx1V9wnjI7xSvBv1tIGA" title="Derajat (sudut)"><span style="color: blue;">derajat</span></a></span><span lang="EN-US"> atau </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Radians&usg=ALkJrhha4BnbHJanuah2LijTxZ9sYuHdwQ" title="Radian"><span style="color: blue;">radian</span></a></span><span lang="EN-US"> . </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Buku pelajaran sekolah modern sering mendefinisikan bangun terpisah yang disebut </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Line_%28geometry%29&usg=ALkJrhjhLtBQuxqXUrmNik710dMTYjFHHw" title="Line (geometri)"><span style="color: blue;">baris</span></a></span><span lang="EN-US"> (tak terbatas), </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Line_%28mathematics%29&usg=ALkJrhjEdEP1--b7MrOG9CSTUNGVJHXMdw#Ray" title="Line (matematika)"><span style="color: blue;">sinar</span></a></span><span lang="EN-US"> (semi-infinite), dan </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Line_segment&usg=ALkJrhhWojhAUQFZYyYTe_02PtvfK25Aog" title="Ruas garis"><span style="color: blue;">segmen garis</span></a></span><span lang="EN-US">
(panjang terbatas). Euclid, daripada membahas sebuah sinar sebagai
objek yang meluas hingga tak terbatas dalam satu arah, biasanya akan
menggunakan lokusi seperti "jika baris ini diperpanjang dengan panjang
yang cukup," meskipun ia kadang-kadang disebut "garis yang tak
terbatas." Sebuah "garis" dalam Euclid dapat berupa lurus atau
melengkung, dan ia menggunakan istilah yang lebih spesifik "garis lurus"
bila diperlukan. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Beberapa hasil penting atau terkenal </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/7/7a/Pons_asinorum.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/7/7a/Pons_asinorum.png" /></a></span></div>
<div>
</div>
<ul type="disc">
<li class="MsoNormal" style="line-height: normal;"><span style="font-size: small;"><b><span lang="EN-US">Teorema</span></b> <b><span lang="EN-US">Jembatan keledai </span></b><span lang="EN-US"> menyatakan bahwa A = B dan C = D.</span></span></li>
</ul>
<div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/b/b6/Sum_of_angles_of_triangle.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/b/b6/Sum_of_angles_of_triangle.png" /></a></span></div>
<div>
</div>
<ul type="disc">
<li class="MsoNormal" style="line-height: normal;"><span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Jumlah dari sudut A, B, dan C adalah sama dengan 180 derajat. </span></span></li>
</ul>
<div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Pythagorean.svg/265px-Pythagorean.svg.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Pythagorean.svg/265px-Pythagorean.svg.png" /></a></span></div>
<div>
</div>
<ul type="disc">
<li class="MsoNormal" style="line-height: normal;"><span style="font-size: small;"><b><span lang="EN-US">Teorema Pythagoras:</span></b><span lang="EN-US"> Jumlah dari bidang dua kotak pada kaki <i>(a</i> dan <i>b)</i> dari sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas persegi pada sisi miring <i>(c).</i></span></span></li>
</ul>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 36pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US"><i> </i> </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Thales%27_Theorem_Simple.svg/200px-Thales%27_Theorem_Simple.svg.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Thales%27_Theorem_Simple.svg/200px-Thales%27_Theorem_Simple.svg.png" /></a></span></div>
<div>
</div>
<ul type="disc">
<li class="MsoNormal" style="line-height: normal;"><span style="font-size: small;"><b><span lang="EN-US">Teorema Thales:</span></b><span lang="EN-US"> jika AC adalah diameter, maka sudut di B adalah sudut kanan. </span></span></li>
</ul>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Jembatan Menilai </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US"><u>Jembatan menilai</u><i><u> </u>(Pons Asinorum)</i> menyatakan bahwa <i>dalam
segitiga sama kaki sudut di dasar sama satu sama lain, dan, jika
garis-garis lurus yang sama yang diproduksi lebih lanjut, maka sudut
bawah dasar sama satu sama lain.</i> Namanya mungkin dikaitkan dengan peran sering sebagai tes nyata pertama dalam <i>Unsur-unsur</i>
kecerdasan pembaca dan sebagai jembatan untuk proposisi keras yang
diikuti. Hal ini juga mungkin dinamakan demikian karena kemiripannya
sosok geometris untuk jembatan yang curam yang hanya seekor keledai yang dapat menyeberang. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Kongruensi segitiga </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt;">
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Congruent_triangles.svg/220px-Congruent_triangles.svg.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Congruent_triangles.svg/220px-Congruent_triangles.svg.png" /></a></span></div>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Kongruensi
segitiga ditentukan dengan menentukan dua sisi dan sudut antara mereka
(SAS), dua sudut dan sisi antara mereka (ASA) atau dua sudut dan sisi
yang berdekatan sesuai (SSA). Menentukan dua sisi dan sudut yang
berdekatan (SSA), bagaimanapun, dapat menghasilkan dua segitiga yang
mungkin berbeda. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Segitiga dikatakan kongruen jika mereka memiliki ketiga sisi yang sama (SSS), dua
sisi dan sudut antara mereka sama (SAS), atau dua sudut dan sisi yang
sama (ASA) (Buku I, proposisi 4, 8, dan 26). (Segitiga dengan tiga sudut
yang sama umumnya serupa, tetapi belum tentu kongruen Juga, segitiga
dengan dua sisi yang sama dan sudut yang berdekatan tidak selalu sama..)
</span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Jumlah sudut sebuah segitiga </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan sudut lurus (180 derajat). </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Teorema Pythagoras </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Para terkenal </span><u><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem&usg=ALkJrhhSI9oruYFFhsK0KvBSrwmU_r1uBg" title="Pythagoras Teorema"><span style="color: blue;">Teorema</span></a></span> <span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem&usg=ALkJrhhSI9oruYFFhsK0KvBSrwmU_r1uBg" title="Pythagoras Teorema"><span style="color: blue;">Pythagoras </span></a></span></u><span lang="EN-US">
(buku I, proposisi 47) menyatakan bahwa dalam setiap segitiga
siku-siku, luas persegi yang sisinya adalah sisi miring (sisi berlawanan
sudut yang tepat) sama dengan jumlah dari bidang kotak yang
sisi-sisinya bertemu di sudut 90 derajat (kedua belah pihak yang
bertemu di sudut kanan). </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Thales 'Teorema </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Thales%27_theorem&usg=ALkJrhiHeTCuBCrUQ9jISa4ff0OiyBJKmg" title="Thales 'Teorema"><span style="color: blue;">Thales 'Teorema</span></a></span><span lang="EN-US"> , yaitu setelah </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Thales_of_Miletus&usg=ALkJrhgpcowxgaR2XzZqOHJk0_W0VL0keg" title="Thales dari Miletus"><span style="color: blue;">Thales dari Miletus</span></a></span><span lang="EN-US">
menyatakan bahwa jika A, B, dan C adalah titik pada lingkaran di mana garis
AC adalah diameter lingkaran, maka sudut ABC adalah sudut kanan.
Penyanyi menyangka bahwa Thales membuktikan Teorema melalui Euclid buku
saya, prop 32 menurut cara Euclid buku III, prop 31. Tradisi mengatakan
bahwa Thales mengorbankan lembu untuk merayakan teorema ini. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Scaling daerah dan volume </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Dalam terminologi modern, area objek pesawat sebanding dengan kuadrat dari setiap dimensi linier</span><span lang="EN-US">. Dan volume yang solid untuk kubus</span><span lang="EN-US">.
Euclid membuktikan hasil ini dalam berbagai kasus khusus seperti luas
lingkaran dan volume yang solid parallelepipedal. Euclid ditentukan,
tapi tidak semua, dari konstanta proporsionalitas yang relevan.
Misalnya, itu penggantinya </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes&usg=ALkJrhir2zgDdThc8UL1xI-eIdUU-eVddQ" title="Archimedes"><span style="color: blue;">Archimedes</span></a></span><span lang="EN-US"> yang membuktikan bahwa bola memiliki 2/3 volume silinder circumscribing. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><b><span lang="EN-US" style="color: #00b0f0;">Aplikasi </span></b></span>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Karena
status dasar geometri Euclidean dalam matematika, tidak mungkin untuk
memberikan lebih dari sampling wakil dari aplikasi di sini. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Us_land_survey_officer.jpg/120px-Us_land_survey_officer.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Us_land_survey_officer.jpg/120px-Us_land_survey_officer.jpg" /></a></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 36pt;">
<span style="font-size: small;"><br /><br /><span lang="EN-US">Sebuah surveyor menggunakan </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Dumpy_level&usg=ALkJrhg3esn7SrNqSCLQypgWov3im6-_hA" title="Dumpy tingkat"><span style="color: blue;">Tingkat</span></a></span><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Ambersweet_oranges.jpg/106px-Ambersweet_oranges.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Ambersweet_oranges.jpg/106px-Ambersweet_oranges.jpg" /></a></span></div>
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US"><span style="color: blue;"> </span></span><span lang="EN-US"> </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 36pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing&usg=ALkJrhgClwoCxRNwgo2Ybi5LtOrhQWSUWA" title="Sphere kemasan"><span style="color: blue;">Kemasan Sphere</span></a></span><span lang="EN-US"> berlaku untuk tumpukan </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Orange_%28fruit%29&usg=ALkJrhgPxhmDSxSlFvBjXnUpmTaA02u5KA" title="Orange (buah)"><span style="color: blue;">jeruk</span></a></span><span lang="EN-US"> . </span></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Parabola_with_focus_and_arbitrary_line.svg/120px-Parabola_with_focus_and_arbitrary_line.svg.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Parabola_with_focus_and_arbitrary_line.svg/120px-Parabola_with_focus_and_arbitrary_line.svg.png" /></a></span></div>
</div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 36pt;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Sebuah cermin parabola membawa sinar paralel dari cahaya untuk fokus. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Seperti yang disarankan oleh etimologi kata, salah satu alasan paling awal untuk kepentingan dalam geometri itu </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Surveying&usg=ALkJrhj4nc-69bT83VtkfrMINrNRcLCCCQ" title="Survei"><span style="color: blue;">survei</span></a></span><span lang="EN-US">
, dan hasil praktis tertentu dari geometri Euclidean, seperti properti
yang tepat-sudut segitiga 3-4-5, digunakan jauh sebelum mereka terbukti
secara formal. Jenis-jenis dasar pengukuran dalam geometri Euclidean
adalah jarak dan sudut, dan kedua kuantitas dapat diukur langsung oleh
surveyor. Secara historis, jarak sering diukur dengan rantai seperti </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Gunter%27s_chain&usg=ALkJrhgIGnN62XFN4XkIT1o8D_oo677JMw" title="Gunter di rantai"><span style="color: blue;">rantai Gunter itu</span></a></span><span lang="EN-US"> , dan sudut menggunakan lingkaran lulus dan, kemudian, </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Theodolite&usg=ALkJrhgP8Oau8POJOWE3pWYEWcxTK7oGEQ" title="Teodolit"><span style="color: blue;">teodolit</span></a></span><span lang="EN-US"> . </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Sebuah aplikasi dari geometri Euclidean yang solid adalah </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Packing_problem&usg=ALkJrhgv7woXPsD8Y5gjgIfnAkhcuURENA" title="Packing masalah"><span style="color: blue;">penentuan pengaturan kemasan</span></a></span><span lang="EN-US"> , seperti masalah untuk menemukan yang paling efisien </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing&usg=ALkJrhgClwoCxRNwgo2Ybi5LtOrhQWSUWA" title="Sphere kemasan"><span style="color: blue;">kemasan bola</span></a></span><span lang="EN-US"> dalam dimensi n. Masalah ini memiliki aplikasi dalam </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Error_detection_and_correction&usg=ALkJrhjkEtCFt23QOcSyFXzZUeUjg6UNRw" title="Kesalahan deteksi dan koreksi"><span style="color: blue;">deteksi dan koreksi kesalahan</span></a></span><span lang="EN-US"> . </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_optics&usg=ALkJrhjcOuE81A8kL7s24NOjDQajU-ZOsA" title="Geometris optik"><span style="color: blue;">Optik geometris</span></a></span><span lang="EN-US"> menggunakan geometri Euclidean untuk menganalisis fokus cahaya oleh lensa dan cermin. </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Damascus_Khan_asad_Pacha_cropped.jpg/120px-Damascus_Khan_asad_Pacha_cropped.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Damascus_Khan_asad_Pacha_cropped.jpg/120px-Damascus_Khan_asad_Pacha_cropped.jpg" /></a></span></div>
<div>
</div>
<ul type="disc">
<li class="MsoNormal" style="line-height: normal;"><span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Geometri digunakan dalam seni dan arsitektur. </span></span></li>
</ul>
<div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/3/33/Water_tower_cropped.jpg/105px-Water_tower_cropped.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/3/33/Water_tower_cropped.jpg/105px-Water_tower_cropped.jpg" /></a></span></div>
<div>
</div>
<ul type="disc">
<li class="MsoNormal" style="line-height: normal;"><span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Menara air terdiri dari kerucut, silinder, dan setengah bola. Volumenya dapat dihitung dengan menggunakan geometri padat. </span></span></li>
</ul>
<div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/2/2c/Origami_crane_cropped.jpg/120px-Origami_crane_cropped.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/2/2c/Origami_crane_cropped.jpg/120px-Origami_crane_cropped.jpg" /></a></span></div>
<div>
</div>
<ul>
<li><span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Geometri dapat digunakan untuk merancang origami. </span></span></li>
</ul>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Geometri digunakan secara luas dalam </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Architecture&usg=ALkJrhhTZ5pv4NBHGioQeSP6SFjrEDk4Mg" title="Arsitektur"><span style="color: blue;">arsitektur</span></a></span><span lang="EN-US"> . </span></span></div>
<div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><span lang="EN-US">Geometri dapat digunakan untuk merancang </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Origami&usg=ALkJrhidfoxq4m8JxsLI_MkJ0B98Lj9GiA" title="Origami"><span style="color: blue;">origami</span></a></span><span lang="EN-US"> . Beberapa </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Compass_and_straightedge_constructions&usg=ALkJrhhOdJu7BK7VEYrsU5CmbFP-iNo0wg#Impossible_constructions" title="Kompas dan sejajar konstruksi"><span style="color: blue;">masalah konstruksi klasik geometri</span></a></span><span lang="EN-US"> tidak mungkin menggunakan </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Compass_and_straightedge&usg=ALkJrhjqg6Mz8kFkavkYy_UPkNZuV2r9dQ" title="Kompas dan sejajar"><span style="color: blue;">kompas dan penggaris-sejajar</span></a></span><span lang="EN-US"> , tetapi dapat </span><span lang="EN-US"><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en%7Cid&rurl=translate.google.co.id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_paper_folding&usg=ALkJrhjZI5r3lXz1-Gb1XufTvKRY_XyJSA" title="Matematika melipat kertas"><span style="color: blue;">diselesaikan dengan menggunakan origami</span></a></span><span lang="EN-US"> . </span></span></div>
<div>
<span style="font-size: small;"></span></div>
<span style="font-size: small;">
</span>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<span lang="EN-US" style="font-size: small;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span><br />
<div style="color: red;">
<span style="font-size: small;">LATIHAN SOAL !</span></div>
<div style="color: red;">
<br /></div>
<span lang="EN-US" style="font-size: small;">1. Jelaskan definisi geometri !</span><br />
<span lang="EN-US" style="font-size: small;">2. Jelaskan pengertian sejarah geometri euclid !</span><br />
<span lang="EN-US" style="font-size: small;">3. Sebutkan dan jelaskan tipe-tipe dasar pengukuran dalam geometri euclid !</span><br />
<span lang="EN-US" style="font-size: small;">4. Sebutkan dan jelaskan notasi terminologi dalam geometri euclid !</span><br />
<span lang="EN-US" style="font-size: small;">5. Jelaskan tentang theorema pythagoras dan teorema Thales !</span><br />
<span lang="EN-US" style="font-size: small;">6. Jelaskan aplikasi dari geometri euclid dan berikan contoh !</span><br />
<span lang="EN-US" style="font-size: small;">7. Untuk menggambarkan pemecahan masalah secara memadai/membutuhkan sistem yang lebih kaya dan konsep logis kontras dalam pendekatan.Jelaskan !</span></div>Astuti Setyoningsihhttp://www.blogger.com/profile/05216792163154917982noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7166776559415068699.post-77058747622891585872012-02-24T15:47:00.000-08:002012-03-21T23:26:53.071-07:00Sejarah Kalkulus<h3 class="post-title entry-title" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: #c00000; font-family: "Calibri","sans-serif";">KALKULUS </span></b></span></h3>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">Kalkulus (Bahasa Latin: </span></b><i><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";">calculus</span></b></i><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">,
artinya “batu kecil”, untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika
yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus
adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu
mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk
memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang
luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat
memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar
elementer.</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">Kalkulus
memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral
yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran
kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang
lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum
dinamakan analisis matematika.</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: #c00000; font-family: "Calibri","sans-serif";">SEJARAH KALKULUS. </span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern.</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><u><span style="color: #c00000; font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">Pada periode zaman kuno</span></u></b><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">,
beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak
dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas
yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri
kembali pada <u>Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM)</u> di mana orang
Mesir menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan
pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai
kalkulus integral.</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><u><span style="color: #c00000; font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">Pada zaman pertengahan</span></u></b><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">,
matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga
pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk
persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhaskara
II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili
perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal
dari “</span></b><i><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Teorema Rolle</span></b></i><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">“.
Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi
orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat
empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan
suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral
yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad
ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari
fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial.
Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari
mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari..
deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><u><span style="color: #c00000; font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">Pada zaman modern</span></u></b><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">,
penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh
matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan
seperti John Wallis danIsaac Barrow memberikan terobosan dalam
kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema
dasar kalkulus pada tahun 1668.</span></b><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";"><br /></span></b><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">Leibniz
dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah
kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu
kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton
mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisikasementara Leibniz
mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.</span></b><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";"><br /></span></b><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">Ketika
Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali,
timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih
pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton
menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama
kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya
dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan
Newton kepada beberapa anggota dari </span></b><i><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Royal Society</span></b></i><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">.</span></b><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";"><br /></span></b><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">Pemeriksaan
secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah,
dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang,
baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan
kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada
ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton
menamakannya “</span></b><i><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";">The science of fluxions</span></b></i><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">“.</span></b><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";"><br /></span></b><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.</span></b><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";"><br /></span></b><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-weight: normal;">Kalkulus
menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern.
Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap
perkembangan kalkulus.</span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: #c00000; font-family: "Calibri","sans-serif"; line-height: 115%;">PARA PENEMU dan PENELITI</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><i><span style="color: #c00000; font-family: "Calibri","sans-serif";">SIR ISAAC NEWTON</span></i></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcT4S18oAGAgsz-GHtgONTnfgFhfbz86IA-GmjAXIerpL5258Mtv" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcT4S18oAGAgsz-GHtgONTnfgFhfbz86IA-GmjAXIerpL5258Mtv" /></a></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="clear: left; float: left; font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><i><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Sir</span></i></b><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";"> Isaac Newton</span></b></span><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;"> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fellow_of_the_Royal_Society" title="Fellow of the Royal Society">FRS</a> (lahir di <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Woolsthorpe-by-Colsterworth&action=edit&redlink=1" title="Woolsthorpe-by-Colsterworth (halaman belum tersedia)">Woolsthorpe-by-Colsterworth</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Lincolnshire" title="Lincolnshire">Lincolnshire</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/4_Januari" title="4 Januari">4 Januari</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/1643" title="1643">1643</a> – meninggal <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/31_Maret" title="31 Maret">31 Maret</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/1727" title="1727">1727</a> pada umur 84 tahun; </span><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalender_Julian" title="Kalender Julian">KJ</a>: 25 Desember 1642 – 20 Maret 1727</span><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">) adalah seorang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fisika" title="Fisika">fisikawan</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematikawan" title="Matematikawan">matematikawan</a>, ahli <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Astronomi" title="Astronomi">astronomi</a>, filsuf alam, alkimiawan, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teologi" title="Teologi">teolog</a> yang berasal dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Inggris" title="Inggris">Inggris</a>.
Ia merupakan pengikut aliran heliosentris dan ilmuwan yang sangat
berpengaruh sepanjang sejarah, bahkan dikatakan sebagai bapak ilmu <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fisika" title="Fisika">fisika</a> klasik.<sup id="cite_ref-0"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton#cite_note-0">[1]</a></sup></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Karya bukunya <i><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Philosophi%C3%A6_Naturalis_Principia_Mathematica" title="Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica">Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica</a></i>
yang diterbitkan pada tahun 1687 dianggap sebagai buku paling
berpengaruh sepanjang sejarah sains. Buku ini meletakkan dasar-dasar <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_klasik" title="Mekanika klasik">mekanika klasik</a>.
Dalam karyanya ini, Newton menjabarkan hukum gravitasi dan tiga hukum
gerak yang mendominasi pandangan sains mengenai alam semesta selama tiga
abad. Newton berhasil menunjukkan bahwa gerak benda di <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bumi" title="Bumi">Bumi</a>
dan benda-benda luar angkasa lainnya diatur oleh sekumpulan hukum-hukum
alam yang sama. Ia membuktikannya dengan menunjukkan konsistensi antara
hukum gerak planet Kepler dengan teori gravitasinya. Karyanya ini
akhirnya menyirnakan keraguan para ilmuwan akan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Heliosentrisme" title="Heliosentrisme">heliosentrisme</a> dan memajukan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Revolusi_ilmiah" title="Revolusi ilmiah">revolusi ilmiah</a>.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Dalam bidang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika" title="Mekanika">mekanika</a>, Newton mencetuskan adanya prinsip kekekalan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum">momentum</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Momentum_sudut" title="Momentum sudut">momentum sudut</a>. Dalam bidang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Optika" title="Optika">optika</a>, ia berhasil membangun <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teleskop_refleksi&action=edit&redlink=1" title="Teleskop refleksi (halaman belum tersedia)">teleskop refleksi</a> yang pertama<sup id="cite_ref-1"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton#cite_note-1">[2]</a></sup> dan mengembangkan teori <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Warna" title="Warna">warna</a>
berdasarkan pengamatan bahwa sebuah kaca prisma akan membagi cahaya
putih menjadi warna-warna lainnya. Ia juga merumuskan hukum pendinginan
dan mempelajari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kecepatan_suara" title="Kecepatan suara">kecepatan suara</a>.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Dalam bidang matematika pula, bersama dengan karya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz" title="Gottfried Leibniz">Gottfried Leibniz</a> yang dilakukan secara terpisah, Newton mengembangkan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus">kalkulus</a>
diferensial dan kalkulus integral. Ia juga berhasil menjabarkan teori
binomial, mengembangkan "metode Newton" untuk melakukan pendekatan
terhadap nilai nol suatu fungsi, dan berkontribusi terhadap kajian <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Deret_pangkat" title="Deret pangkat">deret pangkat</a>.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Sampai
sekarang pun Newton masih sangat berpengaruh di kalangan ilmuwan.
Sebuah survei tahun 2005 yang menanyai para ilmuwan dan masyarakat umum
di <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Royal_Society" title="Royal Society">Royal Society</a> mengenai siapakah yang memberikan kontribusi lebih besar dalam sains, apakah Newton atau <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a>, menunjukkan bahwa Newton dianggap memberikan kontribusi yang lebih besar.<sup id="cite_ref-2"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton#cite_note-2">[3]</a></sup></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: #c00000; font-family: "Calibri","sans-serif";">GOTTFRIED WILHEM LEIBNIZ</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg/220px-Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg/220px-Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg" /></a></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";"><br /></span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Gottfried Wilhem Leibniz</span></b></span><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;"> atau kadangkala dieja sebagai <b>Leibnitz</b> atau <b>Von Leibniz</b> (<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/1_Juli" title="1 Juli">1 Juli</a> (21 Juni menurut tarikh <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalender_Julian" title="Kalender Julian">kalender Julian</a>) <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/1646" title="1646">1646</a> – <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/14_November" title="14 November">14 November</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/1716" title="1716">1716</a>) adalah seorang filsuf Jerman keturunan Sorbia dan berasal dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sachsen" title="Sachsen">Sachsen</a>. Ia terutama terkenal karena faham <i>Théodicée</i> bahwa manusia hidup dalam dunia yang sebaik mungkin karena dunia ini diciptakan oleh Tuhan Yang Sempurna. Faham <i>Théodicée</i> ini menjadi terkenal karena dikritik dalam buku <i><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Candide" title="Candide">Candide</a></i> karangan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Voltaire" title="Voltaire">Voltaire</a>.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Selain seorang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Filsuf" title="Filsuf">filsuf</a>,
ia adalah ilmuwan, matematikawan, diplomat, ahli fisika, sejarawan dan
doktor dalam hukum duniawi dan hukum gereja. Ia dianggap sebagai Jiwa
Universalis zamannya dan merupakan salah seorang filsuf yang paling
berpengaruh pada abad ke-17 dan ke-18. Kontribusinya kepada subyek yang
begitu luas tersebar di banyak jurnal dan puluhan ribu surat serta
naskah manuskrip yang belum semuanya diterbitkan. Sampai sekarang masih
belum ada edisi lengkap mengenai tulisan-tulisan Leibniz dan dengan ini
laporan lengkap mengenai prestasinya belum dapat dilakukan.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Leibniz lahir di <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Leipzig" title="Leipzig">Leipzig</a> dan meninggal dunia di <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Hannover" title="Hannover">Hannover</a>.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: #c00000; font-family: "Calibri","sans-serif";">JOHN WALLIS</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/John_Wallis_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg/220px-John_Wallis_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/John_Wallis_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg/220px-John_Wallis_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg" /></a></span></div>
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";"><br /></span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";">John Wallis</span></b></span><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;"> (<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/23_November" title="23 November">23 November</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/1616" title="1616">1616</a> – <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/28_Oktober" title="28 Oktober">28 Oktober</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/1703" title="1703">1703</a>) adalah matematikawan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Inggris" title="Inggris">Inggris</a> yang berperan dalam perkembangan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus">kalkulus</a>. Ia juga menciptakan simbol ∞ untuk bilangan tak terhingga. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Asteroid" title="Asteroid">Asteroid</a> <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=31982_Johnwallis&action=edit&redlink=1" title="31982 Johnwallis (halaman belum tersedia)">31982 Johnwallis</a> dinamai dari namanya.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">John Brehaut Wallis lahir di <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ashford,_Kent&action=edit&redlink=1" title="Ashford, Kent (halaman belum tersedia)">Ashford, Kent</a>, anak ketiga dari Reverend John Wallis dan Joanna Chapman</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span><br />
<span style="font-size: small;"><br /></span><br />
<span style="font-size: small;"><br /></span><br />
<span style="font-size: small;"><br /></span><br />
<span style="font-size: small;"><br /></span><br />
<span style="font-size: small;"><br /></span><br />
<span style="font-size: small;"><br /></span><br />
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: #c00000; font-family: "Calibri","sans-serif";">ISAAC BARROW</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Isaac_Barrow.jpg/200px-Isaac_Barrow.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Isaac_Barrow.jpg/200px-Isaac_Barrow.jpg" /></a></span></div>
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";"><br /></span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Isaac Barrow</span></b></span><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;"> (<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Oktober" title="Oktober">Oktober</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/1630" title="1630">1630</a> - <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/4_Mei" title="4 Mei">4 Mei</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/1677" title="1677">1677</a>) adalah sarjana dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematikawan" title="Matematikawan">matematikawan</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Inggris" title="Inggris">Inggris</a> yang biasanya diberikan penghargaan atas peran awalnya dalam perkembangan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus">kalkulus</a>, terutama untuk penemuan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_dasar_kalkulus" title="Teorema dasar kalkulus">teorema dasar kalkulus</a>. Karyanya terpusat pada sifat-sifat <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Tangen" title="Tangen">tangen</a>. Barrow adalah yang pertama kali menghitung tangen <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kurva_kappa&action=edit&redlink=1" title="Kurva kappa (halaman belum tersedia)">kurva kappa</a>. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a>
adalah mahasiswa Barrow, dan Newton kemudian mengembangkan kalkulus
dalam bentuk modern. Nama kawah di Bulan, kawah Barrow, berasal dari
namanya.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span><br />
<span style="font-size: small;"><br /></span><br />
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: #c00000; font-family: "Calibri","sans-serif"; line-height: 115%;">PENGARUH PENTING</span></b></span><span style="color: #c00000; font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small; line-height: 115%;"><br /></span><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Walau
beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir,
Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus
modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan
Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil
kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap
perkembangan fisika.<br /><br />Aplikasi kalkulus diferensial meliputi
perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan
optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas,
volume,panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih
jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.<br /><br />Kalkulus juga
digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang,
waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf
berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol
ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno
memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus
memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang
kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.</span><span style="font-size: small;"><b><span style="color: #c00000; font-family: "Calibri","sans-serif"; line-height: 115%;"> </span></b></span><br />
<span style="font-size: small;"><br /></span><br />
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: #c00000; font-family: "Calibri","sans-serif"; line-height: 115%;">APLIKASI</span></b></span><br />
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";"><br /></span></b></span><br />
<span style="font-size: small;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg/180px-NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg/180px-NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg" /></a></span><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;"><br />CANGKANG NAUTILUS<br /><br />Kalkulus
digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik,
teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang
lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui
kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak
diketahui,momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah
objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.<br /><br />Dalam
subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk
mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis
lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan
sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahanmomentum
dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada
benda tersebut dengan arah yang sama.<br /><br />Bahkan rumus umum dari
hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan
kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan
dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas
Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.<br /><br />Pola
spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk
menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.</span><br />
<br />
<div style="color: red;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">LATIHAN SOAL !</span></div>
<div style="color: red;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span>1. Apakah yang dimaksud dengan
kalkulus?</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;">
</span><div>
<span style="font-size: small;"><span>
</span></span></div>
<span style="font-size: small;">
</span><div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span>2. Sebutkan beberapa penemu dan
temuannya dalam kalkulus!</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;">
</span><div>
<span style="font-size: small;"><span>
</span></span></div>
<span style="font-size: small;">
</span><div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span>3. Sebutkan beberapa aplikasi
kalkulus dalam kehidupan sehari-hari!</span></span></span></div>
<span style="font-size: small;">
</span><div>
<span style="font-size: small;"><span>
</span></span></div>
<span style="font-size: small;">
</span><div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span><span lang="IN">4. Jelaskan secara singkat sejarah kalkulus pada zaman kuno?</span></span></span></span></div>
<span style="font-size: small;">
</span><div>
<span style="font-size: small;"><span>
</span></span></div>
<span style="font-size: small;">
</span><div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span><span><span lang="IN">5. Apa pengaruh penting kalkulus ?</span></span></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>Astuti Setyoningsihhttp://www.blogger.com/profile/05216792163154917982noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7166776559415068699.post-56692293847957645312012-02-14T20:32:00.001-08:002012-03-20T21:24:54.815-07:00Sejarah Statistik<div class="Section1" style="text-align: justify;">
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red; font-family: "Calibri","sans-serif";">STATISTIKA</span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: "Calibri","sans-serif";">Statistika</span></b></span><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">
adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan,
menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya,
statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika'
(bahasa Inggris: <i>statistics</i>) berbeda dengan 'statistik' (<i>statistic</i>).
Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik
adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada
suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk
menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika
deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori
probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel,
unit sampel, dan probabilitas.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Statistika
banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam
(misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk
sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan
industri. Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai
macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling
dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah
prosedur jajak pendapat atau <i>polling</i> (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau <i>quick count</i>. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan. </span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red; font-family: "Calibri","sans-serif";">SEJARAH STATISTIKA</span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Penggunaan istilah <i>statistika</i> berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern <i>statisticum collegium</i> ("dewan negara") dan bahasa Italia <i>statista</i> ("negarawan" atau "politikus").</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Gottfried Achenwall (1749) menggunakan <i>Statistik</i>
dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan
analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang
negara (<i>state</i>)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran
arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John
Sinclair memperkenalkan nama (<i>Statistics</i>) dan pengertian ini ke
dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya
mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan
pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus
yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang
berubah setiap saat.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Pada
abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan
bidang-bidang dalam matematika, terutama peluang. Cabang statistika yang
pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah,
statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal
abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl
Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti
problem sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa
sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan,
mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi
dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh
statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan
seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika.</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small; line-height: 115%;">Meskipun
ada pihak yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika,
tetapi sebagian pihak lainnya menganggap statistika sebagai bidang yang
banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya.
Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas
matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen
tersendiri maupun tergabung dengan matematika.</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red; font-family: "Calibri","sans-serif"; line-height: 115%;">AWAL PERKEMBANGAN STATISTIKA SECARA UMUM</span></b></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small; line-height: 115%;"> Perkembangan
statistika diawali sebagai suatu ilmu yang membahas cara-cara
mengumpulkan angka sebagai hasil pengamatan menjadi bentuk yang lebih
mudah dipahami. Menurut Murray R. Spiegel, PhD. (1961) statistika berasal dari kata “status” yang berarti negara. Sehingga
pada awalnya statistika berkaitan dengan ilmu untuk angka-angka
(keterangan) atas perintah raja suatu negara, yang ingin mengetahui
kekayaan negaranya seperti jumlah penduduk, hewan piaraan, hasil
pertanian, dan modal. Contoh tertua mengenai hal ini dapat
diambil dari zaman Kaisar Agustus yang membuat pernyataan bahwa seluruh
dunia harus dikenai pajak, sehingga setiap orang harus melapor kepada
statistikawan terdekat (pengumpul pajak). Peristiwa lain
di dalam sejarah yang dapat dikemukakan ialah sewaktu William si
Penakluk memerintahkan mengadakan pencacahan jiwa dan kekayaan di
seluruh wilayah Inggris untuk pengumpulan pajak dan tugas militer. Semua pengamatan dicatat di dalam sebuah buku yang dikenal dengan <i>Domesday Book</i>. </span></div>
<div class="MsoBodyText3" style="text-indent: 36pt;">
<span lang="EN-GB" style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Dari
keperluan semacam ini timbullah teknik pencatatan angka-angka
pengamatan dalam bentuk daftar dan grafik. Bagian statistika yang
membicarakan cara mengumpulkan dan menyederhanakan a</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">ngka-angka
pengamatan ini dikenal sebagai statistika deskriptif.Statistika
deskriptif dapat berkembang tanpa memerlukan dasar matematika yang kuat,
selain kecermatan dalam teknik berhitung.</span></div>
<div class="MsoBodyText3" style="text-indent: 36pt;">
<span lang="EN-GB" style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Sejak
tahun 1700-an analisis data yang dilakukan secara deskriptif
berdasarkan tabel-tabel frekuensi, rataan, dan ragam untuk sampel
(contoh) ukuran besar. Kemudian pada tahun 1800-an
merupakan awal penggunaan grafik-grafik untuk penyajian data, seperti
histogram, sejalan dengan penemuan sebaran (kurva) Normal. Florence
Nightengale (1820-1920) adalah seorang perawat yang terkenal dengan
inovasi di bidang ilmu perawatan merupakan pelopor dalam penyajian data
secara grafik. Selama perang Crimean, Nightengale mengumpulkan data dan
membuat sistem pencatatan. Dari data tersebut dapat ditentukan tingkat
mortalitas yang dapat menunjukkan hasil perbaikan kondisi kesehatan yang
cenderung menurunkan tingkat kematian. Selanjutnya data-data tersebut
disajikan dalam bentuk grafik yang merupakan suatu inovasi statistika di
masa tersebut. </span></div>
<div class="MsoBodyText3" style="text-indent: 36pt;">
<span lang="EN-GB" style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Dalam
statistika deskriptif tidak ada perbedaan antara yang diperoleh dari
sampel dengan populasinya, dan apa yang dihitung dari sampel digunakan
untuk menandai populasi. Pada taraf selanjutnya orang
tidak puas hanya mengumpulkan angka-angka pengamatan saja. Mereka juga
tidak puas bahwa yang diperoleh dari sampel digunakan untuk mencirikan
populasi. Timbullah usaha-usaha untuk memperbaiki kesimpulan dalam
melakukan ramalan-ramalan populasi berdasarkan angka-angka statistik yang dikumpulkan dari sampel tersebut. Bagian ilmu yang membahas cara-cara mengambil kesimpulan berdasarkan angka-angka pengamatan ini dinamakan statistika induktif. Perkembangan
statistik induktif tidak lepas dari pengetahuan mengenai peluang, maka
ada baiknya kita lihat terlebih dahulu sejarah perkembangan ilmu peluang
yang mendasari statistika induktif.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<table cellpadding="0" cellspacing="0" style="margin-left: 0px; margin-right: 0px; text-align: left;"><tbody>
<tr><td height="52" style="vertical-align: top;" width="496"><table cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody>
<tr><td><div class="shape" style="padding: 3.6pt 7.2pt;">
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-size: small; left: 0pt; position: absolute; z-index: 251660288;">
</span><span style="font-size: small;"> </span></td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-size: small; height: 52px; left: 0px; margin-left: 54px; margin-top: 54px; position: absolute; width: 496px; z-index: 251660288;">
</span><span style="font-size: small;"><b><span style="color: red; font-family: "Calibri","sans-serif";"> </span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: red; font-family: "Calibri","sans-serif";">Konsep dasar</span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Dalam
mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau
sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi. Makna <i>populasi</i>
dalam statistika dapat berarti populasi benda hidup, benda mati,
ataupun benda abstrak. Populasi juga dapat berupa pengukuran sebuah
proses dalam waktu yang berbeda-beda, yakni dikenal dengan istilah <i>deret waktu</i>.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Melakukan
pendataan (pengumpulan data) seluruh populasi dinamakan sensus. Sebuah
sensus tentu memerlukan waktu dan biaya yang tinggi. Untuk itu, dalam
statistika seringkali dilakukan pengambilan sampel (sampling), yakni
sebagian kecil dari populasi, yang dapat mewakili seluruh populasi.
Analisis data dari sampel nantinya digunakan untuk menggeneralisasi
seluruh populasi.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Jika
sampel yang diambil cukup representatif, inferensial (pengambilan
keputusan) dan simpulan yang dibuat dari sampel dapat digunakan untuk
menggambarkan populasi secara keseluruhan. Metode statistika tentang
bagaimana cara mengambil sampel yang tepat dinamakan teknik sampling.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Analisis
statistik banyak menggunakan probabilitas sebagai konsep dasarnya hal
terlihat banyak digunakannya uji statistika yang mengambil dasar pada
sebaran peluang. Sedangkan matematika statistika merupakan cabang dari
matematika terapan yang menggunakan teori probabilitas dan analisis
matematika untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Ada
dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika
inferensial. Statistika deskriptif berkenaan dengan deskripsi data,
misalnya dari menghitung rata-rata dan varians dari data mentah;
mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah
lebih mudah “dibaca” dan lebih bermakna. Sedangkan statistika
inferensial lebih dari itu, misalnya melakukan pengujian hipotesis,
melakukan prediksi observasi masa depan, atau membuat model regresi.</span></div>
<ul type="disc"><span style="font-size: small;">
</span>
<li class="MsoNormal" style="line-height: normal;"><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Statistika
deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan
dideskripsikan) atau disimpulkan, baik secara numerik (misalnya
menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam
bentuk tabel atau grafik), untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai
data tersebut, sehingga lebih mudah <i>dibaca</i> dan bermakna.</span></li>
<span style="font-size: small;">
</span>
<li class="MsoNormal" style="line-height: normal;"><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">Statistika
inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan
keputusan berdasarkan analisis data, misalnya melakukan pengujian
hipotesis, melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi</span><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;"> atau prediksi), membuat permodelan hubungan (korelasi, regresi, ANOVA, deret waktu),dan sebagainya</span></li>
</ul>
<span style="color: red; font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;">LATIHAN SOAL !</span></div>
<div class="Section1" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;"> </span><span style="font-size: small;"><br /></span><ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: small;">Apakah
yang dimaksud dengan Statistika?</span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: small;">Jelaskan
perbedaan antara Statistika dengan Statistik!</span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: small;">Jelaskan
sejarah awalnya Statistika digunakan dalam bidang matematika!</span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: small;">Apakah
manfaat dari Statistika dalam matematika?</span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: small;">Jelaskan
tentang perkembangan Statistika secara umum!</span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: small;">Sebutkan
dan jelaskan macam-macam Statistika?</span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: small;">Dalam
Statistika terdapat 4 tipe skala pengukuran, Sebutkan dan berikan contoh!</span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: small;">Berikan
contoh penerapan Statistika dalam kehidupan sehari-hari!</span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: small;">Sebutkan
tokoh-tokoh Statistik! </span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: small;">Apakah
perbedaan Statistika sekarang dengan jaman dahulu?</span></li>
</ol>
<ul type="disc">
</ul>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: small;"></span></div>Astuti Setyoningsihhttp://www.blogger.com/profile/05216792163154917982noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7166776559415068699.post-37700783658885286932012-02-07T18:18:00.001-08:002012-03-20T21:13:42.764-07:00Sejarah Aljabar<div style="line-height: 150%; margin: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><b><span style="color: red; font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">ALJABAR</span></b></span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black; font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";"> </span><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Aljabar
(Algebra) adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan
kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol
(biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai
sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili
bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui. Sehingga bila Andi
mempunyai x buku dan kemudian Budi mempunyai 3 buku lebih banyak daripada Andi,
maka dalam aljabar, buku Budi dapat ditulis sebagai y = x + 3. Dengan
menggunakan aljabar, Anda dapat menyelidiki pola aturan aturan bilangan
umumnya. Aljabar dapat diasumsikan dengan cara memandang benda dari atas,
sehingga kita dapat menemukan pola umumnya.</span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Aljabar telah digunakan
matematikawan sejak beberapa ribu tahun yang lalu. Sejarah mencatat penggunaan
aljabar telah dilakukan bangsa Mesopotamia pada 3.500 tahun yang lalu. Nama
Aljabar berasal dari kitab yang ditulis pada tahun 830 oleh Matematikawan
Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi dengan judul ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’
(yang berarti "The Compendious Book on Calculation by Completion and
Balancing"), yang menerapkan operasi simbolik untuk mencari solusi secara
sistematik terhadap persamaan linier dan kuadratik.</span><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;"> Sebelum munculnya karya yang berjudul ‘Hisab al-Jibra wa al Muqabalah yang
ditulis oleh al-Khawarizmi itu, kata aljabar tidak pernah
digunakan.</span><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";"> Salah satu muridnya, Omar
Khayyam menerjemahkan hasil karya Al-Khwarizmi ke bahasa Eropa. Beberapa abad
yang lalu, ilmuwan dan matematikawan Inggris, Isaac Newton (1642-17 27)
menunjukkan, kelakuan sesuatu di alam dapat dijelaskan dengan aturan atau rumus
matematika yang melibatkan aljabar, yang dikenal sebagai Rumus Gravitasi
Newton.</span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Aljabar bersama-sama dengan
Geometri, Analisis dan Teori Bilangan adalah cabang-cabang utama dalam
Matematika. Aljabar Elementer merupakan bagian dari kurikulun dalam sekolah
menengah dan menyediakan landasan bagi ide-ide dasar untuk Ajabar secara
keseluruhan, meliputi sifat-sifat penambahan dan perkalian bilangan, konsep
variabel, definisi polinom, faktorisasi dan menentukan akar pangkat.</span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Sekarang ini istilah Aljabar
mempunyai makna lebih luas daripada sekedar Aljabar Elementer, yaitu meliputi
Ajabar Abstrak, Aljabar Linier dan sebagainya. Seperti dijelaskan di atas dalam
aljabar, kita tidak bekerja secara langsung dengan bilangan melainkan bekerja
dengan menggunakan simbol, variabel dan elemen-elemen himpunan. Sebagai contoh
Penambahan dan Perkalian dipandang sebagai operasi secara umum dan definisi ini
menuju pada struktur bilangan seperti Grup, Ring, dan Medan (fields).</span><br /><span><br /></span><br /><span><br /></span></span>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in;">
<span style="font-size: small;"><span><b><span style="color: red; font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">Klasifikasi dari
Aljabar</span></b></span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Aljabar secara garis besar
dapat dibagi dalam kategori berikut ini:</span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">1. Aljabar Elementer, yang
mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan riil direkam dalam simbol sebagai
konstanta dan variabel, dan Aturan yang membangun ekspresi dan persamaan
Matematika yang melibatkan simbol-simbol.(bidang ini juga mencakup materi yang
biasanya diajarkan di sekolah menengah yaitu ‘Intermediate Algebra’ dan
‘college algebra’);</span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">2. Aljabar Abstrak,
kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Struktur Aljabar semacam
Grup, Ring dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara
aksiomatis;</span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">3. Aljabar Linier, yang
mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Matriks);</span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">4. Aljabar Universal, yang
mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Struktur aljabar.</span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Dalam studi Aljabar lanjut,
sistem aljabar aksiomatis semacam Grup, Ring, Medan dan Aljabar di atas sebuah
Medan (algebras over a field) dipelajari bersama dengan telaah Struktur
Geometri Natural yang kompatibel dengan Struktur Aljabar tersebut dalam bidang
Topologi. </span><br /><span><br /></span></span>
</div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in;">
<span style="font-size: small;"><span><b><span style="color: red; font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">Aljabar Elementer</span></b></span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Aljabar Elementer adalah
bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum
mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika Dasar.
Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika
(seperti +, −, ×, ÷) muncul juga dalam Aljabar, tetapi disini bilangan
seringkali hanya dinotasikan dengan simbol (seperti a, x, y). Hal ini sangat
penting sebab: Hal ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum dari aturan
Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan selanjutnya
merupakan langkah pertama untuk penelusuran yang sistematik terhadap
sifat-sifat sistem bilangan riil.</span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Dengan menggunakan simbol,
alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan kita untuk
membangun persamaan matematika yang mengandung variabel yang tidak diketahui
(sebagai contoh “Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x + 1 = 10").
Hal ini juga mengijinkan kita untuk membuat relasi fungsional dari rumus-rumus
matematika tersebut (sebagai contoh "Jika anda menjual x tiket, dan
kemudian anda mendapat untung 3x - 10 rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) =
3x - 10, dimana f adalah fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f
bekerja.").</span></span></div>
</div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><b><span style="color: red; font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">Asal Mula Aljabar</span></b></span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Asal mula Aljabar dapat
ditelusuri berasal dari bangsa Babilonia Kuno yang mengembangkan sistem
aritmatika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung dalam cara
yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka
mampu mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak
diketahui untuk kelas masalah yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan
persamaan Linier, Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya,
bangsa Mesir, dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam milenium
pertama sebelum masehi, biasanya masih menggunakan metode geometri untuk
memecahkan persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan dalam ‘the
Rhind Mathematical Papyrus’, ‘Sulba Sutras’, ‘Euclid's Elements’, dan ‘The Nine
Chapters on the Mathematical Art’. Hasil karya bangsa Yunani dalam Geometri,
yang tertulis dalam kitab Elemen, menyediakan kerangka berpikir untuk
menggeneralisasi formula matematika di luar solusi khusus dari suatu
permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan dan
memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.</span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Seperti telah disinggung di
atas istilah ‘Aljabar’ berasal dari kata arab "al-jabr" yang berasal
dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti "The Compendious
Book on Calculation by Completion and Balancing"), yang ditulis oleh
Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi. Kata ‘Al-Jabr’ sendiri
sebenarnya berarti penggabungan (reunion). Matematikawan Yunani di jaman
Hellenisme, Diophantus, </span><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">secara tradisional telah mengenal konsep konsep
aljabar, dan dikenal sebagai </span><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">‘Bapak Aljabar’,</span><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;"> hanya saja mereka tidak menggunakan istilah tersebut untuk teori yang
mereka miliki.</span><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";"> walaupun sampai sekarang masih diperdebatkan siapa sebenarnya yang berhak atas
sebutan tersebut Al-Khwarizmi atau Diophantus?. Mereka yang mendukung
Al-Khwarizmi menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih
digunakan sampai sekarang ini dan ia juga memberikan penjelasan yang rinci
mengenai pemecahan persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang mendukung
Diophantus menunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr adalah masih sangat
elementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam ‘Arithmetica’, karya
Diophantus. Matematikawan Persia yang lain, Omar Khayyam, membangun Aljabar
Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik. Matematikawan
India Mahavira dan Bhaskara, serta Matematikawan Cina, Zhu Shijie, berhasil
memecahkan berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat
tinggi lainnya.</span><br /><span><br /></span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><b><span style="color: red; font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">SEJARAH ALJABAR</span></b></span><br /><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;"><br />
Sekitar tahun 300 S.M seorang sarjana Yunani kuno Euclid menulis buku yang
berjudul <b><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">"Elements"</span></b>.
Dalam buku itu ia mencantumkan beberapa rumus aljabar yang benar untuk semua
bilangan yang ia kembangkan dengan mempelajari bentuk-bentuk geometris. Perlu
diketahui, orang-orang Yunani kuno menuliskan permasalahan-permasalahan secara
lengkap jika mareka tidak dapat memecahkan permasalahan-permasalahan tersebut
dengan menggunakan geometri. Metode inilah yang kemudian menjadikan kemampuan
mereka untuk memecahkan permasalahan-permasalahan yang mendetail menjadi
terbatasi.<br />
<br />
Seiring dengan perkembangan zaman, Pada abad ke-3, Diophantus of Alexandria
(250 M) menulis sebuah buku berjudul Aritmetika, dimana ia menggunakan
simbol-simbol untuk bilangan-bilangan yang tidak diketahui dan untuk
operasi-operasi seperti penambahan dan pengurangan. Sistemnya tidak sepenuhnya
dalam bentuk simbol, tetapi berada diantara sistem Euclid dan apa yang
digunakan sekarang ini.<br />
<br />
</span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;"> Ketika Agama Islam mulai mucul abad ke 6 masehi, Peperangan atas nama agama
untuk menundukkan daerah daerah Yahudi, Daerah Khatolik dan daerah tempat para
umat Nasrani tinggal mulai gencar dilakukan oleh para pengikut muhammad. Sehingga
pada tahun 641 M, bangsa Arab berhasil menguasai Alexandria dan menutup sekolah
Yunani kuno terakhir. Namun ide-ide bangsa Yunani tetap dipertahankan bahkan
dikembangkan, dan kemudian dibawa ke Eropa Barat setelah menduduki Spanyol pada
tahun 747 M.</span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">
</span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">
Bangsa arab yang sebelumnya belum pernah mendapatkan harta berupa Ilmu yang
berlimpah di daerah jajahan, kemudian mulailah Bangsa Arab pertama kali
mempertemukan ilmu yang berupa ide tersebut. Ketika mereka bertemu dengan
dokter-dokter Yunani yang bekerja di kota-kota Arab.. Dua orang sarjana yang
terkenal itu adalah <b><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Brahmagupta</span></b>
(598 - 660) dan <b><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Arya-Bhata</span></b>
(475 - 550). Brahmagupta adalah seorang astronom yang banyak menemukan
ciri-ciri untuk luas dan volume benda padat. Sedangkan Arya-Bhata adalah
seorang ilmuwan yang menciptakan tabel sinus (rasio-rasio istimewa) dan
mengembangkan sebuah bentuk aljabar sinkopasi seperti sistem yang dibuat
Diophantus.</span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">
</span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">
Lambat laun bangsa Arab mulai mengenal teori yang dimiliki negara jajahan
tersebut. Kemudian munculah tokoh yang sekarang ini dianggap sebagai penemu
teor Aljabar, dialah <b><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Al-Khawarizmi</span></b>
, seorang muslim keturunan Usbekistan dan lahir pada tahun 780 masehi atau 194
Hijriah menurut kalender islam. Dibidang pendidikan, telah dibuktikan bahwa
ialah seorang tokoh Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan kemahiran
al-Khawarizmi bukan hanya meliputi bidang syariat tetapi juga dalam bidang
falsafah, logika, aritmetik, geometri, musik, sastra, sejarah Islam dan ilmu
kimia. Keahlian dirinya pada ilmu matematika telah membawa dirinya menciptakan
pemakaian Secans dan Tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi.
Dalam usia muda ia telah bekerja di bawah pemerintahan Khalifah al-Ma’mun,
daerah Bayt al-Hikmah di Baghdad. al-Khawarizmi bekerja dalam sebuah observatory
atau tempat ilmu matematik dan astronomi yang ia gali lebih dalam.
Al-Khawarizmi juga dipercayai memimpin perpustakaan khalifah.</span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">
</span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">
Sumbangsih terbesar al-Khawarizmi adalah karyanya yang terangkum dalam buku
bukunya yang berjudul sebagai berikut.</span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">
</span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">
<b><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; font-weight: normal;"><span style="color: #0b5394;">Al-Jabr wa’l Muqabalah</span> : Penciptaan pemakaian secans dan tangens dalam
penyelidikan trigonometri dan astronomi.</span></b></span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;"><b>
</b></span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;"><b>
</b><b><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; font-weight: normal;"><span style="color: #0b5394;">Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah</span> : Sebuah buku yang merangkum pemecahan dari
permasalan masalah matematika yang sebagian telah dikemukakan bangsa Babilonia
kuno. Dan Kebenarannya diakui oleh al-Khawarizmi .</span></b></span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;"><b>
</b></span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;"><b>
</b><b><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; font-weight: normal;"><span style="color: #0b5394;">Sistem Nombor </span>: Beliau telah memperkenalkan konsep sifat dan ia penting
dalam sistem nombor pada zaman sekarang.</span></b></span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;"><b>
</b></span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">
Antara cabang yang diperkanalkan oleh al-Khawarizmi seperti geometri, algebra,
aritmetik dan lain-lain. Geometri merupakan cabang kedua dalam matematik yang
dijabarkan oleh al-Khawarizmi lebih lanjut. Isi kandungan yang diperbincangkan
dalam cabang kedua ini ialah asal-usul geometri yang mengacu pada Kitab
al-Ustugusat[The Elements] hasil karya<b><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";"> Euclid</span></b>
. Dari segi ilmu yang dimiliki geometri adalah ilmu yang mengkaji hal yang
berhubung dengan magnitud dan sifat-sifat ruang. Ilmu Geometri inipada awalnya
dipelajari sejak zaman firaun [2000SM]. Kemudian Thales Miletus memperkenalkan
geometri Mesir kepada Grik sebagai satu sains dedukasi dalam kurun ke 6 SM.
Seterusnya sarjana Islam seperti al-Khawarizmi telah menekuni kaedah sains
dedukasi ini lebih jauh, terutamanya pada abad ke9M. Algebra/aljabar merupakan
nadi untuk matematik algebra.</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;"> </span><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";"> </span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Peristiwa lain yang penting
adalah perkembangan lebih lanjut dari aljabar, terjadi pada pertengahan abad
ke-16. Ide tentang determinan yang dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa
Seki di abad 17, diikuti oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, dengan
tujuan untuk memecahkan Sistem Persamaan Linier secara simultan dengan
menggunakan Matriks. Gabriel Cramer juga menyumbangkan hasil karyanya tentang
Matriks dan Determinan di abad ke-18. Aljabar Abstrak dikembangkan pada abad
ke-19, mula-mula berfokus pada teori Galois dan pada masalah keterkonstruksian
(constructibility) </span></span><br />
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Tahap-tahap perkembangan
Aljabar simbolik secara garis besar adalah sebagai berikut:</span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">- Aljabar Retorik (Rhetorical
algebra), yang dikembangkan oleh bangsa Babilonia dan masih mendominasi sampai
dengan abad ke-16;</span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">- Aljabar yang dikontruksi
secara Geometri, yang dikembangkan oleh Matematikawan Vedic India dan Yunani
Kuno;</span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">- Syncopated algebra, yang
dikembangkan oleh Diophantus dan dalam ‘the Bakhshali Manuscript’; dan</span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin: 0in; text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">- Aljabar simbolik (Symbolic
algebra), yang titik puncaknya adalah pada karya Leibniz.</span></span><br /><span style="font-size: small;"><span></span></span><br /><span style="font-size: small;"><span></span></span><br /><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Latihan Soal !</span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";"> </span></span><br />
</div>
<ol style="text-align: justify;">
<li><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Apakah yang dimaksud dengan aljabar ?.</span></span></li>
<li><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Berasal dari manakah kata aljabar ?.</span></span></li>
<li><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Sebutkan tahapan - tahapan perkembangan aljabar simbolik secara garis besar !</span></span></li>
<li><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Sebutkan klasifikasi dari aljabar !</span></span></li>
<li><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Jelaskan secara singkat perkembangan lebih lanjut dari aljabar mulai dari abad ke-16 !</span></span></li>
<li><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Jelaskan apa yang dimaksud dengan aljabar elementer !</span></span></li>
<li><span style="font-size: small;"><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";">Sebutkan beberapa sumbangsih terbesar dari </span><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif"; line-height: 150%;">al-Khawarizmi !</span><span style="font-family: "Adobe Garamond Pro","serif";"> </span></span></li>
</ol>
</div>
</div>Astuti Setyoningsihhttp://www.blogger.com/profile/05216792163154917982noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7166776559415068699.post-85334297936265792892012-01-31T20:37:00.000-08:002012-03-20T21:12:27.888-07:00Sejarah Teori Bilangan<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><b><i><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">Pengertian
teori bilangan</span></span></i></b></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Secara
tradisional, <b>teori bilangan</b> adalah cabang dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika" title="Matematika"><span style="color: black; text-decoration: none;">matematika</span></a> murni
yang mempelajari sifat-sifat <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulat" title="Bilangan bulat"><span style="color: black; text-decoration: none;">bilangan
bulat</span></a> dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat mudah
dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Dalam <b>teori
bilangan dasar</b>, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari
area matematika lainnya. Pertanyaan tentang <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Divisibilitas&action=edit&redlink=1" title="Divisibilitas (halaman belum tersedia)"><span style="color: black; text-decoration: none;">sifat dapat dibagi</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Algoritma_Euklidean" title="Algoritma Euklidean"><span style="color: black; text-decoration: none;">algoritma Euklidean</span></a> untuk menghitung <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Faktor_persekutuan_terbesar" title="Faktor persekutuan terbesar"><span style="color: black; text-decoration: none;">faktor persekutuan terbesar</span></a>, faktorisasi
bilangan bulat dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_prima" title="Bilangan prima"><span style="color: black; text-decoration: none;">bilangan prima</span></a>, penelitian tentang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_sempurna" title="Bilangan sempurna"><span style="color: black; text-decoration: none;">bilangan
sempurna</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aritmatika_modulo&action=edit&redlink=1" title="Aritmatika modulo (halaman belum tersedia)"><span style="color: black; text-decoration: none;">kongruensi</span></a> dipelajari
di sini.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Pernyataan
dasarnya adalah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_kecil_Fermat" title="Teorema kecil Fermat"><span style="color: black; text-decoration: none;">teorema kecil Fermat</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Euler" title="Teorema Euler"><span style="color: black; text-decoration: none;">teorema Euler</span></a>.
Juga <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_sisa_Tiongkok" title="Teorema sisa Tiongkok"><span style="color: black; text-decoration: none;">teorema sisa Tiongkok</span></a> dan hukum <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Keresiprokalan_kuadrat&action=edit&redlink=1" title="Keresiprokalan kuadrat (halaman belum tersedia)"><span style="color: black; text-decoration: none;">keresiprokalan kuadrat</span></a>.
Sifat dari <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_multiplikatif&action=edit&redlink=1" title="Fungsi multiplikatif (halaman belum tersedia)"><span style="color: black; text-decoration: none;">fungsi multiplikatif</span></a> seperti <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_M%C3%B6bius&action=edit&redlink=1" title="Fungsi Möbius (halaman belum tersedia)"><span style="color: black; text-decoration: none;">fungsi Möbius</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_phi_Euler&action=edit&redlink=1" title="Fungsi phi Euler (halaman belum tersedia)"><span style="color: black; text-decoration: none;">fungsi phi Euler</span></a> juga
dipelajari. Demikian pula <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Barisan_bilangan_bulat&action=edit&redlink=1" title="Barisan bilangan bulat (halaman belum tersedia)"><span style="color: black; text-decoration: none;">barisan bilangan bulat</span></a> seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Faktorial" title="Faktorial"><span style="color: black; text-decoration: none;">faktorial</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_Fibonacci" title="Bilangan Fibonacci"><span style="color: black; text-decoration: none;">bilangan Fibonacci</span></a>.</span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: red;"><i><span lang="IN" style="line-height: 150%;"> <b>Gambaran sejarah purbakala dari Matematika</b></span></i></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Pada
mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang
sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia
sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan
Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu
memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa,
membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian
untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan
matematika bersama-sama.<br />
Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang
bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan,
penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan
alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki.
Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan
dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.</span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><b><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">Awal
Bilangan</span></span></b></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Bilangan
pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam
perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol
dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi
hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam
kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan,
karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun
dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.<br />
Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda
misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara
tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Simbol
bilangan bangsa Babilonia:</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Simbol
bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM:</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Simbol
bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno:</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Simbol
bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh
umat Islam di seluruh dunia:</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Simbol
bilangan bangsa Yunani Kuno:</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Simbol
bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini:</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Dalam
perkembangan selanjutnya, pada abad ke-X ditemukanlah manuskrip Spanyol yang
memuat penulisan simbol bilangan oleh bangsa Hindu-Arab Kuno dan cara penulisan
inilah yang menjadi cikal bakal penulisan simbol bilangan yang kita pakai
hingga saat ini, seperti yang tampak dalam gambar berikut:</span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><b><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">Perkembangan
Teori Bilangan</span></span></b></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: red;">
</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><b><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">Teori
Bilangan Pada suku Babilonia</span></span></b></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Matematika
Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa
Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban
helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia
sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika
Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan
Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus
Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.<br />
Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan
Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat
yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah
liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik
matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.<br />
Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun
peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi
sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan
tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan
geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga
merujuk pada periode ini.<br />
Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun
1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan
kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan
bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode
penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289
SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal.<br />
Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal
(basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk
semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran
lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang
melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan
Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana
angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih
besar, seperti di dalam sistem desimal</span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><b><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">Teori
Bilangan Pada Suku Bangsa Mesir Kuno</span></span></b></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Matematika
Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak
peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan
Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di
Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam,
ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.<br />
Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind
(kadang-kadang disebut juga “Lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya),
diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah
salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun
2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan
geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian,
pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi
pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata
aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan
Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga
berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika
dan geometri.<br />
Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman
Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal
kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.</span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><b><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">Teori
Bilangan Pada Suku Bangsa India</span></span></b></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Sulba
Sutras (kira-kira 800–500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang
menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik;
menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan
metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan,
menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras
secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema
Pythagoras.<br />
Kira-kira abad ke-5 SM merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta
menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan
aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3
sampai abad pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang
bersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika
bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi
gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.<br />
Pada sekitar abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat
bilangan lengkap (perfect number), bilangan bersekawan (amicable number),
bilangan prima (prime number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan
bujur sangkar (square number), bilangan segilima (pentagonal number) serta
bilangan-bilangan segibanyak (figurate numbers) yang lain. Salah satu sifat
bilangan segitiga yang terkenal sampai sekarang disebut triple Pythagoras,
yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur
sangkar yang sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan
sisi miring (hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil
kajian yang lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan
prima dan bilangan komposit. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih
dari satu yang tidak memiliki Faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu
sendiri. Bilangan positif selain satu dan selain bilangan prima disebut
bilangan komposit. Catatan sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan
prima telah menarik perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang
berkaitan dengan berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat
digunakan untuk mencari dan membuat daftar bilangan prima.<br />
Dengan berkembangnya sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur
aritmetis untuk landasan kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum,
melalui langkah-langkah tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma.
Awal dari algoritma dikerjakan oleh Euclid. Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid
mengembangkan konsep-konsep dasar geometri dan teori bilangan. Buku Euclid yang
ke VII memuat suatu algoritma untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar dari
dua bilangan bulat positif dengan menggunakan suatu teknik atau prosedur yang
efisien, melalui sejumlah langkah yang terhingga. Kata algoritma berasal dari
algorism. Pada zaman Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata Algorism bersumber
dari nama seorang muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu
Ja’far Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya
(Al-Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah Algorism. Istilah algoritma masuk
kosakata kebanyakan orang pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun
1950.<br />
Pada abad ke 3 S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja
Erathosthenes, yang sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The
Sieve of Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan
buku yang bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan didalam
bilangan bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun
geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang
ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.</span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><b><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">Teori
Bilangan Pada Masa Sejarah (Masehi)</span></span></b></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Awal
kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665),
Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre
(1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866),
Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963).
Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan
dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori
bilangan sebagai the queen of mathematics.<br />
Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga
banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal
ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris,
kriptografi, komputer, dan lain sebagainya</span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: red;"><b><span lang="IN" style="line-height: 150%;">Tokoh-Tokoh
Teori Bilangan</span></b><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><br />
<b>Pythagoras (582-496 SM)</b></span></span><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><br />
Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal
melalui teoremanya. Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan
yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.<br />
Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang
menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama
dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun
fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras,
namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali
membuktikan pengamatan ini secara matematis.</span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><b><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">Jamshid
Al-Kashi (1380 M)</span></span></b></span><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><br />
Al-Kashi terlahir pada 1380 di Kashan, sebuah padang pasir di sebelah utara
wilayah Iran Tengah. Selama hidupnya, al-Kashi telah menyumbangkan dan
mewariskan sederet penemuan penting bagi astronomi dan matematika.<br />
Pecahan desimal yang digunakan oleh orang-orang Cina pada zaman kuno selama
berabad-abad, sebenarnya merupakan pecahan desimal yang diciptakan oleh
al-Kashi. Pecahan desimal ini merupakan salah satu karya besarnya yang
memudahkan untuk menghitung aritmatika yang dia bahas dalam karyanya yang
berjudul Kunci Aritmatika yang diterbitkan pada awal abad ke-15 di Samarkand.</span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><b><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">Abu Ali
Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M)</span></span></b></span><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><br />
Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam lahir Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat
dikenal dengan nama Alhazen. Al-Haytam adalah orang pertama yang
mengklasifikasikan semua bilangan sempurna yang genap, yaitu bilangan yang
merupakan jumlah dari pembagi-pembagi sejatinya, seperti yang berbentuk
2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima. Selanjutnya Al-Haytam membuktikan
bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p.</span><br /><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><br />
<b><span style="color: red;">Pierre de Fermat</span></b><br />
Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this
margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil
sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya
Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai
remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan
biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain.
Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan
Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia
sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat
hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku-
siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas
hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang
mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam
simbol, tidak terdapat bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat.
Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk
diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem
adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan
bulat x, y, z dengan maka jika n = pq, .</span></span>
<span style="font-size: small;"><br /></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><b><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">Kapankah
angka nol ditemukan?</span></span></b></span><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><br />
Zero = 0 = Empty = Kosong (Nol) Memang, kata dalam Bahasa Inggris ‘zero’ (nol)
berasal dari bahasa Arab ‘sifr’, suatu terjemahan literal dari bahasa Sanskrit
“shûnya” yang bermakna “kosong”. Runtutan keterkaitan bahasa dari masa ke masa:
shûnya (Sanskrit) -> (Ancient Egypt/Babylonia) -> (Greek/Helenic) ->
(Rome/Byzantium) – sifr (Arab) -> zero (English) -> nol; kosong
(Indonesia). Nol asalnya dari India
“shûnya” bukan cuma sebuah istilah, tapi juga konsep.<br />
Sekitar tahun 300 SM orang babilonia telah memulai penggunaan dua buah baji
miring, //, untuk menunjukkan sebuah tempat kosong, sebuah kolom kosong pada
Abakus. Simbol ini memudahkan seseorang untuk menentukan letak sebuah symbol.
Angka nol sangat berguna dan merupakan simbol yang menggambarkan sebuah tempat
kosong dalam Abakus, sebuah kolom dengan batu-batu yang ditempatkan di dasar.
Kegunaannya hanya untuk memastikan bahwa butiran-butiran tersebut berada di
tempat yang tepat, angka nol tidak memiliki nilai numeric tersendiri.<br />
Pada komputer nol ini dapat merusak sistem, karena nol diartikan tidak ada.
Berapapun bilangan dikalikan dengan nol hasilnya tidak ada. Nah inilah yang
membuat bingung dalam operasi perhitungan.<br />
Perhatikan contoh ini :<br />
0=0 ( nol sama dengan nol, benar)<br />
0 x3=0 x 89 (nol sama-sama dikalikan dengan sebuah bilangan, karena juga akan
bernilai nol)<br />
(0 x 3)/0= (0 x 89)/0 (sebuah bilangan dibagi dengan bilangan yang sama, akan
bernilai satu)<br />
3=89 (???, hasil ini yang membuat bingung)<br />
Walaupun demikian sebenarnya nol itu hebat, jika tidak ditemukan angka nol
tulisan satu juta dalam bilangan romawi ditulis apa?? Bisa-bisa selembar kertas
tidak sampai untuk hanya memberikan symbol satu juta itu. Bisa dibayangkan jika
nol tidak ada. Banyak kekuatan yang terkandung dalam angka ini. Nol adalah
perangkat paling penting dalam matematika. Namun berkat sifat matematis dan
filosofis yang aneh pada angka nol, ia akan berbenturan dengan filsafat barat.<br />
Angka nol berbenturan dengan salah satu prinsip utama filsafat barat, sebuah
dictum yang akar-akarnya terhujam dalam filsafat angka Phythagoras dan nilai
pentingnya tumbuh dari paradoks Zeno. seluruh cosmos Yunani didirikan di atas
pilar: tak ada kekosongan.<br />
Kosmos Yunani yang dis=ciptakan oleh Phytagoras, Aristoteles dan Ptolemeus
masih lama bertahan setelah keruntuhan peradaban Yunani. Dalam kosmos ini tak
ada ketiadaaan. Oleh karena itu, hampir sepanjang dua milinium orang-orang
barat tak bersedia menerima angka nol. Konsekuensinya sungguh menakutkan.
Ketiadaan angka nol menghambat perkembangan matematika, menghalangi inovasi
sains dan yang lebih berbahaya, mengacaukan sistem penanggalan.</span><br /><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><br />
<b><span style="color: red;">Macam-macam bilangan</span></b><br />
Bilangan Bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan positif, bilangan
nol, dan bilangan negatif.<br />
Misal : ….-2,-1,0,1,2….<br />
Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1(satu)
sampai tak terhingga.<br />
Misal : 1,2,3….<br />
Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 0 (nol) sampai
tak terhingga.<br />
Misal : 0,1,2,3,….<br />
Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu bilangan 1
(satu) dan bilangan itu sendiri.<br />
Misal : 2,3,5,7,11,13,…..<br />
(1 bukan bilangan prima, karena mempunyai satu faktor saja).<br />
Bilangan komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan bilangan
prima.<br />
Misal ; 4,6,8,9,10,12,….<br />
Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai suatu pembagian
antara dua bilangan bulat (berbentuk bilangan a/b, dimana a dan b merupakan
bilangan bulat).<br />
Misal: 1/2 ,2/(3 ),3/4….<br />
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai
pembagian dua bilangan bulat.<br />
Misal: π, √3 , log 7 dan sebagainya.<br />
Bilangan riil adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan
rasional dan bilangan irrasional<br />
Misal: 1/2 √(2 ),1/3 √5,1/4 π,2/3 log</span></span>
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: "Cambria Math","serif"; line-height: 150%;"></span><span lang="IN" style="line-height: 150%;">2 dan sebagainya.<br />
Bilangan imajiner (bilangan khayal) adalah bilangan yang ditandai dengan i,
bilangan imajiner i dinyatakan sebagai √(-1). Jadi, jika i = √(-1) maka i2= -1<br />
Misal: √(-4)=</span><span lang="IN" style="font-family: "Cambria Math","serif"; line-height: 150%;">⋯</span><span lang="IN" style="line-height: 150%;">?<br />
√(-4)=√(4×(-1) )<br />
= √4×√(-1)<br />
= 2 × i<br />
= 2i<br />
Jadi, √(-4)=2i.<br />
Bilangan kompleks adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan
riil dan bilangan imajiner.<br />
Misal; π√(-1)= πi<br />
Log √(-1)=log</span><span lang="IN" style="font-family: "Cambria Math","serif"; line-height: 150%;"></span><span lang="IN" style="line-height: 150%;">i</span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><i><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">APLIKASI TEORI BILANGAN</span></span></i></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span><i><span style="line-height: 150%;">ISBN</span></i></span><span style="line-height: 150%;"> (<i>International
Book Serial Number</i>)</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Fungsi <i>hash</i></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Kriptografi<i> </i></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Pembangkit bilangan acak-semu </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">dll</span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> </span><span style="line-height: 150%;"> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">ISBN</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Kode ISBN terdiri dari 10 karakter, biasanya
dikelompokkan dengan spasi atau garis, misalnya 0–3015–4561–9. </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">ISBN terdiri atas empat bagian kode: </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">- kode yang mengidentifikasikan bahasa, </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">- kode penerbit, </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">- kode unik untuk buku tersebut, </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">- karakter uji (angka atau huruf X (=10)). </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Contoh: ISBN 0–3015–4561–8</span><span style="line-height: 150%;"> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> 0 :
kode kelompok negara berbahasa Inggris,</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> 3015 : kode penerbit </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> 4561 :
kode unik buku yang diterbitkan </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> 8 : karakter uji. </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> Karakter
uji ini didapatkan sebagai berikut:</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> 1
</span><span style="font-family: Symbol; line-height: 150%;">×</span><span style="line-height: 150%;"> 0 + 2 </span><span style="font-family: Symbol; line-height: 150%;">×</span><span style="line-height: 150%;"> 3 + 3 </span><span style="font-family: Symbol; line-height: 150%;">×</span><span style="line-height: 150%;"> 0 + 4 </span><span style="font-family: Symbol; line-height: 150%;">×</span><span style="line-height: 150%;"> 1 + 5 </span><span style="font-family: Symbol; line-height: 150%;">×</span><span style="line-height: 150%;"> 5 + 6 </span><span style="font-family: Symbol; line-height: 150%;">×</span><span style="line-height: 150%;"> 4 +</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> 7
</span><span style="font-family: Symbol; line-height: 150%;">×</span><span style="line-height: 150%;"> 5 + 8 </span><span style="font-family: Symbol; line-height: 150%;">×</span><span style="line-height: 150%;"> 6 + 9 </span><span style="font-family: Symbol; line-height: 150%;">×</span><span style="line-height: 150%;"> 1 = 151</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Jadi, karakter ujinya adalah 151 mod 11 = 8. </span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">FUNGSI HASH</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Tujuan: pengalamatan di memori </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Bentuk: <i>h</i>(<i>k</i>) = <i>k</i> mod <i>m</i> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> <i>- m</i> : jumlah lokasi memori yang
tersedia </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> - k : kunci (<i>integer</i>)<i>
</i></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> - <i>h</i>(<i>k</i>)
:<i> </i>lokasi memori untuk <i>record</i> dengan </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">
kunci <i>k</i> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Kolisi (<i>collision</i>) terjadi jika fungsi <i>hash</i>
menghasilkan nilai h yang sama </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">untuk k yang berbeda.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Jika terjadi kolisi, cek elemen berikutnya yang
kosong.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Fungsi <i>hash</i> juga digunakan untuk me-<i>locate</i>
elemen yang dicari.</span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">KRIPTOGRAFI</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Wingdings; line-height: 150%;">§<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span><b><span style="line-height: 150%;">Pesan</span></b></span><span style="line-height: 150%;">: data
atau informasi yang dapat dibaca dan dimengerti maknanya.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> Nama
lain: <b>plainteks</b> (<i>plaintext</i>)</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Wingdings; line-height: 150%;">§<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Pesan dapat berupa:
teks, gambar, audio, video.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Wingdings; line-height: 150%;">§<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Pesan ada yang dikirim atau disimpan di dalam media
penyimpanan.</span><span style="line-height: 150%;"> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span><b><span style="line-height: 150%;">Cipherteks</span></b></span><span style="line-height: 150%;"> (<i>ciphertext</i>):
pesan yang telah disandikan sehingga tidak memiliki makna lagi.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> Tujuan: agar
pesan tidak dapat dimengerti maknanya oleh pihak lain.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Cipherteks harus dapat diubah kembali ke plainteks
semula </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">Contoh:</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">Plainteks: </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> culik anak itu
jam 11 siang </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">Cipherteks: t^$gfUi89rewoFpfdWqL:p[uTcxZ</span><span style="line-height: 150%;"> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span><b><span style="line-height: 150%;">Enkripsi</span></b></span><span style="line-height: 150%;"> (<i>encryption</i>):
proses menyandikan plainteks menjadi ciphertek. </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span><b><span style="line-height: 150%;">Dekripsi</span></b></span><span style="line-height: 150%;"> (<i>decryption</i>):
Proses mengembalikan cipherteks menjadi plainteksnya.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span><b><span style="line-height: 150%;">Kriptografi (<i>cryptography</i>)</span></b></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Dari Bahasa Yunani yang artinya “<i>secret writing</i>”</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Definisi: kriptografi adalah ilmu dan seni untuk
menjaga keamanan pesan. </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span><b><span style="line-height: 150%;">Algoritma kriptografi (<i>cipher</i>)</span></b></span><span style="line-height: 150%;"> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> -
aturan untuk enkripsi dan dekripsi </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> -
fungsi matematika yang digunakan </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> untuk
enkripsi dan dekripsi.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span><b><span style="line-height: 150%;">Kunci</span></b></span><span style="line-height: 150%;">:
parameter yang digunakan untuk transformasi <i>enciphering</i> dan <i>dechipering</i></span><span style="line-height: 150%;"> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Kunci bersifat rahasia, sedangkan algoritma kriptografi
tidak rahasia </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Sudah digunakan di Yunani 400 BC</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Alat yang digunakan: <i>scytale</i></span></span>
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"><i> </i></span><span><i><span style="line-height: 150%;"> </span></i></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">Aplikasi Kriptografi</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">1.<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span style="line-height: 150%;">Pengiriman data melalui
saluran komunikasi </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> (<i>data
encryption on motion</i>).</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="line-height: 150%;">2.<span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span style="line-height: 150%;">Penyimpanan data di dalam
<i>disk storage</i> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> (<i>data
encryption at rest</i>)</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Data ditransmisikan dalam bentuk chiperteks. Di tempat
penerima chiperteks dikembalikan lagi menjadi plainteks.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Data di dalam media penyimpanan komputer (seperti <i>hard</i>
<i>disk</i>) disimpan dalam bentuk chiperteks. Untuk membacanya, hanya orang
yang berhak yang dapat mengembalikan chiperteks menjadi plainteks.</span></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"><span style="color: red;">Notasi Matematis</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">Misalkan: </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><i><span style="line-height: 150%;"> C</span></i></span><span style="line-height: 150%;"> = chiperteks </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><i><span style="line-height: 150%;"> P</span></i></span><span style="line-height: 150%;"> = plainteks dilambangkan </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">Fungsi enkripsi <i>E</i> memetakan <i>P</i> ke <i>C</i>,
</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><i><span style="line-height: 150%;"> E</span></i></span><span style="line-height: 150%;">(<i>P</i>) = <i>C </i> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">Fungsi dekripsi <i>D</i> memetakan <i>C</i> ke <i>P</i>,</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> <i>D</i>(<i>C</i>)
= <i>P</i> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">Dengan menggunakan kunci <i>K</i>, maka fungsi
enkripsi dan dekripsi menjadi </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span><i><span style="line-height: 150%;"> E<sub>K</sub></span></i></span><span style="line-height: 150%;">(<i>P</i>) = <i>C</i> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> <i>D<sub>K</sub></i>(<i>C</i>)
= <i>P</i> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> dan kedua
fungsi ini memenuhi </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> <i>D<sub>K</sub></i>(<i>E<sub>K</sub></i>(<i>P</i>))
= <i>P</i></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Jika kunci enkripsi sama dengan kunci dekripsi, maka
sistem kriptografinya disebut <b>sistem</b> <b>simetri</b> atau <b>sistem</b> <b>konvensional</b>.
</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Algoritma kriptografinya disebut algoritma simetri
atau algoritma konvensional .</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Jika kunci enkripsi tidak sama dengan kunci dekripsi,
maka sistem kriptografinya disebut <b>sistem</b> <b>nirsimetri </b>(<i>asymmetric
system</i>)<b> </b></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Nama lain: <b>sistem</b> <b>kriptografi kunci-publik</b>
</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> karena,
kunci enkripsi bersifat publik (<i>public key</i>) sedangkan kunci dekripsi
bersifat rahasia (<i>private key</i>).</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0in 0in 0in 0.5in; text-align: justify; text-indent: -0.25in;">
<span style="font-size: small;"><span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Pengirim pesan menggunakan kunci publik si penerima
pesan untuk mengenkripsi pesan </span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">
<span lang="IN" style="font-family: Symbol; line-height: 150%;"><img alt="*" height="16" src="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5Crumnet%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image001.gif" width="16" /><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="line-height: 150%;">Penerima pesan mendekripsi pesan dengan kunci
privatnya sendiri.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="color: red; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">LATIHAN SOAL !</span></span></div>
<ol style="text-align: justify;">
<li><span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;"> Jelaskan pengertian teori bilangan !</span></span></li>
<li><span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">Berilah contoh bahwa peranan matematika sangat penting dalam kehidupan sehari-hari !</span></span></li>
<li><span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">Jelaskan perkembangan teori bilangan pada masa sejarah / masehi !</span></span></li>
<li><span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">Sebutkan tokoh-tokoh teori bilangan 1</span></span></li>
<li><span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">Sebutkan dan jelaskan macam-macam bilangan !</span></span></li>
<li><span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">Jelaskan kapan angka "0" ditemukan !</span></span></li>
<li><span style="font-size: small;"><span style="line-height: 150%;">Jelaskan gambaran sejarah purbakala matematika ! </span></span></li>
</ol>Astuti Setyoningsihhttp://www.blogger.com/profile/05216792163154917982noreply@blogger.com0